快速数字仿真

快速数字仿真算法,仿真中对快速性的需求分为3个方面,1）利用仿真技术进行控制系统参数优化设计时，需要反复的对系统进行仿真运算，以获得满意的工程参数；2）在物理数学混合仿真时，由于实物系统介入仿真模型，要求仿真模型的时间比例尺与真实系统的时间比例尺完全相同，如果系统比较复杂或者方程个数很多，要在规定的时间内完成一次系统中每个方程的计算，要求仿真的计算速度比较快；3）在复杂的控制系统中，常常需要在线对被控系统的状态进行预测，以确定系统的控制策略，要求仿真模型的时间比例尺小于系统的运行时间比例尺，从而对仿真速度提出来更高的要求。,一般的快速数字仿真算法有以下两点要求,1）每步计算量要小；2）算法要有良好的稳定性，允许采用较多的计算步长，同时又能保证必要的计算精度。,替换法是快速仿真的主要算法之一，它建立在相匹配原理的基础上。,何为相匹配？如果被仿真系统的数学模型是稳定的，则其仿真模型也应该是稳定的，并且二者的动态、稳态特性一致。如果对于同一输入信号，二者的输出具有相一致的时域特性，或者二者具有相一致的频率特性，则称仿真模型与原系统模型相匹配。,5.1替换法,一般快速仿真提高了对速度的要求，而合理地降低了对计算精度的要求。因此，对于控制系统中最常见的用传递函数G(s)描述的数学模型，如果能够根据相匹配原理，直接将高阶系统的数学模型转换成与之相匹配、每步计算量较小、允许采用较大步长且具有合理精度的仿真模型G(z)，就可以利用G(z)对应的差分方程进行快速仿真。,5.1替换法,求出G(z)。式中，T为采样周期。另一种是将G(s)展开成部分分式形式，然后通过查Z变换表求得G(z)。对于高阶系统，采用这两种转换方法都不很容易。因此，应该设法找到一个直接将G(s)转换成G(z)的简便方法。,5.1替换法,1替换法的基本思想2双线性变换法3双线性变换法步骤4双线性变换法特性分析5双线性变换法仿真实例,5.1替换法,1替换法的基本思想,式中，T为采样周期，亦为仿真计算时的步长。,5.1替换法,5.3式是超越方程，如果直接将传递函数中的变量s用它替换，得到G(z)的也将是超越方程，很难由Y(z)=G(z)U(z)得到一个关于变量u和y的线性差分方程，因此必须另辟蹊径。替换法就是解决上述问题的一类方法。其基本思想是，设法找到s域与z域之间的某种简单的映射关系,（5.4）,然后将G(s)中的变量s用s=f-1(z)替换，从而得到与G(s)相对应的G(z)。,5.1替换法,2双线性变换法,5.1替换法,利用（5.7）式可以把G(s)转换为G(z)。数学上称这种变换方法为双线性变换法（或Tustin法）。,双线性变换法是否满足相匹配原理呢？1）稳定性的匹配,（5.8）,则,5.1替换法,由（5.9）式可知,双线性变换法将左半s平面映射到z平面的单位圆内。也就是说，如果原来系统的G(s)是稳定的，则通过双线性变换法得到的G(z)必然是稳定的。,2.4.2替换法,5.1替换法,2）判断双线性变换后的稳态增益不变设连续系统的传递函数为,（5.10）,其稳态增益为bn/an。若将G(s)进行双线性变换，有,（5.11）,显然，G(z)的稳态增益仍为bn/an。,5.1替换法,3）双线性变换法具有一定的精度设有方程,（5.13）,将（5.6）式代入上式，得,（5.14）,5.1替换法,由此可得差分方程,（5.15）,这和将AM2法（也称为梯形法）应用于（5.12）式所得结果相同。,5.1替换法,结论：双线性变换法符合相匹配原理，是一种具有一定计算精度的绝对稳定算法。双线性变换法适合于以分子分母多项式形式描述的G(s)。,5.1替换法,例5.1已知连续系统的传递函数为,（5.16）,试采用双线性变换法求出对应的脉冲传递函数和差分方程，并对所得结果进行分析。解将（5.6）式代入上式，得脉冲传递函数,（5.17）,5.1替换法,于是，差分方程为,（5.18）,因为,由（5.17）式可知，G(z)是稳定的。,G(s)的分子多项式为1阶，分母多项式为2阶，而G(z)的分子、分母多项式的阶次相同，均为2阶。G(s)的稳态增益为0，G(z)的稳态增益也为0。,5.1替换法,为了考虑双线性变换法所得仿真模型的精度，除了可以在时域中进行讨论外，也可以从频域的角度进行分析。事实上,将,(5.19),分别代入（5.16）式和（5.17）式，可得,5.1替换法,取T=1s，分别求出（5.20）式和（5.21）式的幅频特性和相频特性，如表2.6所示。,表5.1G(s)与G(z)的频率特性比较,表5.1表明利用双线性变换法得到的仿真模型既简单，又有一定的精度。,5.1替换法,3双线性变换法步骤,设连续系统的传递函数为,采用双线性变换法求取仿真模型的步骤如下：,将中的s按（5.6）式替换得到，并整理成有理分式形式,（5.23）,5.1替换法,根据得到的G(z)，由Y(z)=G(z)U(z)，两边取Z反变换，得到便于计算机递推计算的差分方程,(5.24),5.1替换法,4双线性变换法特性分析,双线性变换法是一种绝对稳定的算法，允许采用大步长。由于双线性变换法是由（5.3）式取一次项近似得到的，所以得到的差分方程虽具有一定的精度，但当取得太大时精度会降低。因此在选取时，主要应考虑计算精度和仿真速度的需求。经验表明，若取,(5.25),式中，为被仿真系统的自然频率，可以保证较好的仿真精度。,5.1替换法,双线性变换法得到的差分方程的每项系数，都是预先一次计算确定的，在仿真递推过程中不需要重新计算，因此仿真递推的计算量较小。事实上，由（5.24）式可知，对于n阶连续系统，每步计算量约为(2n+1)次乘法。所以，该法适合于快速仿真。双线性变换法中由G(s)到G(z)的转换，以及由G(z)到差分方程的转换，都可以很容易地编程实现。,5.1替换法,双线性变换法具有串联性。如图5.1所示，G1(s)和G2(s)相串联。若令,(5.26),（5.27）,式中，G(s)，G1(s),G2(s)分别是G(z)，G1(z)，G2(z)的双线性变换结果。,图5.1,双线性变换公式不仅可以方便地应用于传递函数，也可以应用于状态空间模型。双线性变换后系统的阶次不变，且分子、分母多项式具有相同的阶次。事实上，将（5.6）式代入（5.22）式，有,（5.28）,5.1替换法,5.1替换法,可见，G(z)的分子、分母多项式均为n次，即在分子上增添了(nm)个z=-1的零点。由此得到的差分方程是多步关系式（当n1时）。由于被仿真系统一般仅给出在初始时刻t=0处的系统的初始值，而在t0以前各采样点处的信息需要经过变换求得，这就可能给双线性变换法的应用带来一定的麻烦。,可以证明，双线性变换后得到的脉冲传递函数频率特性与原连续系统的频率特性在低频段相差较小，在高频段差别较大。这一点也可以从表5.1看出。所以，双线性变换法主要用于有限带宽的系统。,化简得到,解：,将转换成差分方程,例51已知一线性系统的传递函数为,求：利用图士汀公式的仿真模型。,3.3采样控制系统的快速数字仿真,快速数字仿真目的：减小计算工作量，加快仿真速度，即：原来的T1（采样周期）较小，现希望用一个较大的T1来仿真。这时，需要数字控制器部分的仿真模型做必要的修改。这是因为当离散部分仿真模型的采样周期与原来的实际采样周期不同时，会导致仿真模型与原型两者脉冲传函对应着不同的零点、极点和终值，导致仿真结果与原来的实际情况不符，所以，必须修改仿真模型的脉冲传函。做法：只需对离散部分的仿真模型进行修改。,例：若要求T1=0.1，那么，仿真模型应如何变化？解：确定差分模型原则，在控制系统的Z域分析中已经知道，如果两个脉冲传函映射到S平面上时，具有相同的零、极点，且具有相同的稳态值，则这两个系统等价。利用D(z)|T1=0.04和D(z)|T1=0.1在S平面上的映射，具有