2013年福建省高一数学竞赛试题-参考答案

2013年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月12日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1已知集合，则的非空真子集有（ ）A31个 B30个 C15个 D14个【答案】 D 【解答】由条件知，。 的非空真子集有个。2给出下列四个命题： 若平面内有不在一条直线上的三个点到平面的距离相等，则。 三个平面可以把空间分成七个部分。 正方体中与对角线成异面直线的棱共有5条。 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中假命题的个数为（ ）A 1个 B2个 C3个 D4个【答案】 C 【解答】易知，命题为真命题，、为假命题3设方程与的根分别为，则（ ）A B C D【答案】 A 【解答】易知是方程的根，即。设，则，。 ，。4函数图像的对称中心是（ ）A B C D【答案】 B 【解答】设。则。 为奇函数，的图像关于原点对称。 的图像关于点对称。5已知从点出发的三条射线，两两成角，且分别与球相切于，三点。若球的体积为，则，两点间的距离为（ ）A B C3 D6【答案】 B 【解答】由条件知，。设交平面于点。则，为的中心，且。 ，。第4题答题图又由球的体积为知，。 。6已知二次函数（），点。若存在两条都过点且互相垂直的直线和，它们与二次函数（）的图像都没有公共点，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】 A 【解答】易知斜率存在，且不为0。设的斜率为，则的方程为。由得，。由与二次函数（）的图像没有公共点知，。同理，由与二次函数（）的图像没有公共点知，。由，得；由，得，或。依题意，方程组有解。 方程组无解，解得。 方程组有解。故，的取值范围为。二、填空题（每小题6分，共36分）7已知的顶点、在直线：上，点的坐标为。若重心的坐标为，则 。【答案】 【解答】依题意有，。 ，。设中点为，则点的坐标为。将点的坐标代入直线：的方程，得。 。8已知是棱长为2的正方体，点是底面的中心，是棱的中点。则四面体的体积为 。【答案】 1 【解答】由正方体的性质知，且。 与延长后相交，设交点为，由是棱的中点知，。第8题答题图 。 四面体的体积为1。9已知函数满足：（1）对任意的实数，；（2）对任意的实数，；（3）当时，。若关于的方程（，且）在区间内恰有6个不同的实根，则的取值范围为 。【答案】 【解答】在同一坐标系内分别作出函数与的图像。由两函数图像在区间内恰有6个不同的交点知，。第9题答题图 ，解得。的取值范围为。10已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围为 。【答案】 【解答】易知，是不等式的解，不是不等式的解。 不等式的三个整数解只能为，。不等式化为，。设，则依题意，方程的两根满足，。 ，且。解得。 的取值范围为。11对正整数，记为数的十进制表示的数码和（如，时，由，得）。则的最小值为 。【答案】 3 【解答】（1）易知，为大于3的奇数，故，。（2）若，则只能是首位和末位为1，其余数码为0的数，即（其中为正整数）。由无正整数解，知是大于1的整数。由知，。由于与互质，。因此，。结合得，。但当为大于1的整数时，。两者矛盾。因此，。（3）时，。所以，由（1）、（2）、（3）可得，的最小值为3。12对给定的正整数（），由不大于的连续5个正整数的和组成集合，由不大于的连续6个正整数的和组成集合，若集合的元素个数为2013，则的最大值为 。【答案】 12088【解答】由条件知集合由形如的数构成，其中为正整数，且。集合由形如的数构成，其中为正整数，且。由知，所以。设（为正整数），则，。由，知，。 由形如的数构成，其中为正整数，且。 集合的元素个数为。由的元素个数为2013知，。 ，。的最大值为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13设为曲线上任意一点，为曲线上任意一点。定义、两点间的距离的最小值为曲线与间的距离。已知曲线：，曲线：（）。（1）求曲线与曲线间的距离的表达式；（2）若关于的方程有解，求的取值范围。【解答】（1）曲线表示以为圆心，为半径的圆。设为曲线：上任意一点。则。由于，所以当时，有最小值。 的最小值为。 4分当，即时，。 8分当，即时，。 。 12分（2）问题等价于求函数的值域。设，则，。 ，在区间上为减函数，时，的值域为。又时，。因此，的值域为。 的取值范围为。 16分14过坐标原点作圆：的两条切线，设切点为，。（1）求直线的方程以及线段的长；（2）求内切圆的方程。【解答】（1）依题意，为以为直径的圆与圆的交点。 以为直径的圆的方程为，即。又圆方程化为，将两圆方程相减得，即。 直线的方程为。第14题答题图 4分易知，圆心到直线的距离。 。 8分（2）设内切圆的半径为，圆心为，中点为，圆切边于。则由，知、四点共线，且。由，知，。 ，解得。 12分 ，内心的坐标为。 内切圆的方程为。 16分15如图，为锐角的外接圆。直线和分别与边、交于点、，直线交的外接圆于点、，且。（1）求证：；（2）求证：。第15题图【解答】（1）如图，连接，。则。 ， 。 。 4分又 ， 。 ， 。 8分（2）仿（1）可知，。 。 、四点共圆。第15题答题图 。 12分又为的外心，。 。 。 。 16分16已知直线：与幂函数（）的图像交于，两点，且。（1）求的值；（2）设符号表示不超过的最大整数。记（）。求的值。【解答】（1） 直线过点，幂函数的图像也过点。 点是直线与幂函数图像的一个交点，不妨设此点为。 4分设是直线与幂函数图像的另一个交点。则由知，整理得，。 或，或。显然点不在幂函数的图像上，因此，幂函数的图像过点。 ，。 8分（2）由（1）知，。 对任意的正整数， 。 12分 对任意的正整数， 。 ，。 16分17对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数。（1）求函数的值域；（2）设，是任意给定的个互不相等的实数。求证：存在某个正整数（），使得。【解答】（1）当为整数时，由，知，。此时，。 2分当不是整数时，由知，可见不超过的最大整