2020年公式法解一元二次方程的教案设计

公式法解一元二次方程的教案设计 1.了解一元二次方程的含义. 2.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如(x-a)2=b(b0)的方程. 3.初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程. 4.掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程. 1.整式方程 方程的两边都是关于数的整式，这样的方程叫做整式方程. 2.一元二次方程 只含有一个数，并且数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. 3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项. 4.直接开平方法 形如x2=a(a0)的方程，因为x是a的平方根，所以x= ，即x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 5.配方法 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)化成(x+ )2= 的形式后，当b2-4ac0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根. 6.公式法 用一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式x= (b2-4ac0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个数;(3)数的最高次数是2”. 一元二次方程的概念中“只含有一个数，并且数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程. 2.在求二次项、一次项和常数项时，要先方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a0时，才是一元二次方程，例如a=0，b0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a0这个条件. 3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解. 4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解. 5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公 式了. 例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程： (1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0; (4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2. 剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行，化成一般形式，然后再根据条件：整式方程;只含有一个数;数的最高次数为2. 只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程. 解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0， 此方程是一元二次方程. (2)移项，得8x2-x=0，此方程是一元二次方程. (3)因为数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程. (4)方程中含有两个数， 它不是一元二次方程. (5)a=-10， 它是一元二次方程. (6)，得4x=0 它不是一元二次方程. 例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项： (1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0. 剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先方程. 解：(1)，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5. (2) ，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2. (3)，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0. 例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗? 剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个数;(3)数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨. 解：当m-10，即m1时，原方程是一元二次方程. 当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程. 说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号. 例4:用直接开平方法解下列方程： (1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0. 解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9， x= ，即x=3或x=-3.x1=3，x2=-3. (2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7， 3x-5= ， 即3x-5= 或3x-5=- . x1= ，x2= . 例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0. 剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1; (2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边; (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解. 解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= . 解这个方程，得x+ = ，x+ = .即x1= ，x2=-4. 说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1. 例6：用公式法解下列方程： (1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x. 解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0. a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-42(-4)=810， x= .x1= ，x2=-4. (2)方程可变形为x2-2 x-1=0. a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-41(-1)=160. x= .x1= +2，x2= -2. 说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式. 例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根. 解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-10，即m1，所以m=-4. 把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0， 解得：x1=0，x2=9.6， 所以方程的另一根为9.6. 说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件. 【同步达纲练习】 1.选择题 (1)下列方程中是一元二次方程的是( ) A. =0 B. =0 C.x2+2xy+1=0 D.5x=3x-1 (2)下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x2=1 B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0 D. x2-x= (x2+1) (3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A.3，-4，-2 B.3，2，-4 C.3，-2，-4 D.2，-2，0 (4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 (5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( ) A.m0 B.m1 C.m1且m-1 D.m1或m-1 (6)方程x(x+1)=0的根为( ) A.0 B.-1 C.0，-1 D.0，1 (7)方程3x2-75=0的解是( ) A.x=5 B.x=-5 C.x=5 D.无实数根 (8)方程(x-5)2=6的两个根是( ) A.x1=x2=5+ B.x1=x2=-5+ C.x1=-5+ ，x2=-5- D.x1=5+ ，x2=5- (9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( ) A.1或5 B.7或-1 C.-1或-5 D.-7或1 (10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m的值等于( ) A.2 B.- C.-2 D. 2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项： (1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3; (3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ . 3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值. 4.用直接开平方法解下列方程： (1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0; (4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0. 5.用配方法解下列方程： (1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0; (4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2. 6.用公式法解下列方程： (1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3; (5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0. 7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等? (2)当x为何值时，