2016年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1已知 i 为虚数单位，则 ） A 1 B 1 C i D i 2已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=2， 4， 5， B=1， 3， 5，则（ B=（ ） A 1 B 3 C 1， 3， 5， 6 D 1， 3 3已知 A 与 B 是两个事件， P（ B） = ， P（ = ，则 P（ A|B） =（ ） A B C D 4函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ ， 1 D（ ， +） 5已知实数 x， y 满足 ，若 z=2x+y 的最大值为 3，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 1 D 6设 D 为 在平面内一点， = + ，若 = （ R），则 =（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 7函数 f（ x） =22x+） x+）（ 为常数，且 ， k Z）图象的一个对称中心的坐标为（ ） A（ ， 0） B（ 0， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 8函数 y= 的图象大致为（ ） A B CD 第 2 页（共 21 页） 9执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 的值为（ ） A 1 B 4 C D 10若函数 f（ x） =|x|+ （ a 0）没有零点，则 a 的取值范围是（ ） A B（ 2， +） C D（ 0， 1） （ 2， +） 二、填空 题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11若 “ x ， ， m ”为真命题，则实数 m 的最大值为 _ 12若函数 f（ x） =|x+1|+|x+a|的最小值为 1，则实数 a 的值为 _ 13从 2 名语文老师， 2 名数学老师， 4 名英语老师中选派 5 人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为 _（用数字作答） 14圆锥被一个平面 截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若 r=1，则该几何体的体积为 _ 15在平面直角坐标系 ，双曲线 =1 的渐近线与椭圆 + =1（ a b 0）交于第一、二象限内的两点分别为 A、 B，若 外接圆的圆心为（ 0， a），则双曲线 离心率为 _ 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16如图，在 ，点 D 在边 ， ， ， ， C=45 （ 1）求 B 的大小； （ 2）求 面积及边 长 第 3 页（共 21 页） 17一 次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了 n 个学生的成绩（满分为 100 分）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50， 60）， 90， 100的数据） （ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、 y 的值； （ 2）在选取的样本中，从成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 3 名参加志愿者活动，设 X 表示所抽取的 3 名同学中得分在 80， 90）内的学生个数，求 X 的数学期望及方差 18如图，在四棱锥 ，侧棱 平面 面 菱形， 20， ， D=O， E、 F 分别是线段 中点，延长 ，使得 G （ 1）证明： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 19数列 足 ， ， 是公比为 的等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 n 7， 数列 前 n 项和，求 及 最小值 20已知抛物线 C： p 0）的焦点 F 在直线 2x+y 2=0 上 （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）已知点 P 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的任意一点，抛物线在点 P 处的切线分别与 y 轴交于点 B， E，设 = ，求证： 为定值； （ 3）在（ 2）的条件下，直线 抛物线 C 交于另一点 A，请问： 面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 第 4 页（共 21 页） 21已知函数 f（ x） =x 1 a（ x 1） 2 a R） （ 1）当 a=0 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） =f（ x） x+1 有一个极小值点和一个极大值点，求 a 的取值范围； （ 3）若存在 k （ 1， 2），使得当 x （ 0， k时 ， f（ x）的值域是 f（ k）， +），求 a 的取值范围注：自然对数的底数 e=第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1已知 i 为虚数单位，则 ） A 1 B 1 C i D i 【考点】 虚数单位 i 及其性质 【分析】 利用 ，即可得出 【解答】 解： ， 04=1， 故选： A 2已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=2， 4， 5， B=1， 3， 5，则（ B=（ ） A 1 B 3 C 1， 3， 5， 6 D 1， 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据全集 U 求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的并集即可 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=2， 4， 5， 1， 3， 6， B=1， 3， 5， 则（ B=1， 3， 5， 6 故选： C 3已知 A 与 B 是两个事件， P（ B） = ， P（ = ，则 P（ A|B） =（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 由条件概率的计算公式，代入数据计算可得答案 【解答】 解：由条件概率的计算公式，可得 P（ B|A） = = = 故选： D 4函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ ， 1 D（ ， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数成立的条件，即可求函数的定义域 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解：要使函数 f（ x）有意义，则 ， 即 0 2x 1 1，即 1 2x 2， 解得 x 1， 故函数的定义域是（ ， 1， 故选： C 5已知实数 x， y 满足 ，若 z=2x+y 的最大值为 3，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 1 D 【考点】 简 单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到 a 的值 【解答】 解：不等式组 对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z，则由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大，为 2x+y=16 由 ， 解得 ，即 A（ 2， 1）， 此时点 A 在 x+y=a， 即 2 1=a， 解得 a=1， 故选： A 第 7 页（共 21 页） 6设 D 为 在平面内一点， = + ，若 = （ R），则 =（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 D 为 在平面内一点， = + ，可得 B， C， D 三点共线若= （ R），可得 = ，化简与 = + 比较，即可得出 【解答】 解： D 为 在平面内一点， = + ， B， C， D 三点共线 若 = （ R）， = ， 化为： = + ， 与 = + 比较，可得： = ， = ，解得 = 3 则 = 3 故选： D 7函数 f（ x） =22x+） x+）（ 为常数，且 ， k Z）图象的一个对称中心的坐标为（ ） A（ ， 0） B（ 0， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由三角函数公式化简可得 f（ x） = 2奇函数的对称性结合 选项可得 【解答】 解：由三角函数公式化简可得： f（ x） =22x+） x+） =22x+） 2x+） + =22x+） 2x+） 2x+） 2x+） 2x+） 2x ） = 2 满足 f（ x） = f（ x）即函数为奇函数，图象关于原点对称 故选： B 8函数 y= 的图象 大致为（ ） 第 8 页（共 21 页） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势，即可判断 【解答】 解： f（ x） = = f（ x）， y= 为奇函数， 图象关于原点对称， 当 x+时， y0， 当 0 x 时， y 0， 故选： A 9执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 的值为（ ） A 1 B 4 C D 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就 退出循环，从而到结论 【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得 S= 1， k=1 满足条件 k 2016， S=4， k=2 满足条件 k 2016， S= ， k=3 第 9 页（共 21 页） 满足条件 k 2016， S= ， k=4 满足条件 k 2016， S= 1， k=5 观察规律可知， S 的取值周期为 4，由 2016=504 4，可知 满足条件 k 2016， S= ， k=2015 满足 条件 k 2016， S= ， k=2016 不满足条件 k 2016，退出循环，输出 S 的值为 故选： D 10若函数 f（ x） =|x|+ （ a 0）没有零点，则 a 的取值范围是（ ） A B（ 2， +） C D（ 0， 1） （ 2， +） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据函数 f（ x）没有零点，等价为函数 y= 与 y= |x|的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出 a 的取值范围 【解答】 解：令 |x|+ =0 得 = |x|， 令 y= ，则 x2+y2=a，表示半径为 ，圆心在原点的圆的上半部分， y= |x|，表示以（ 0， ）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图， 根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于 1，或者圆心到折线的距离大于半径 ， a 的取值范 围为（ 0， 1） （ 2， +） 故选： D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11若 “ x ， ， m ”为真命题，则实数 m 的最大值为 0 【考点】 全称命题 【分析】 求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围 第 10 页（共 21 页） 【解答】 解： “ x ， ， m ”为真命题， 可得 1 1， 0 2， 实数 m 的最大值为： 0 故答案为： 0 12若函数 f（ x） =|x+1|+|x+a|的最小值为 1，则实数 a 的值为 0 或 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 函数 f（ x） =|x+1|+|x+a|的几何意义是点 x 与点 1 的距离及点 x 与点 a 的距离之和，从而解得 【解答】 解： 函数 f（ x） =|x+1|+|x+a|的几何意义是： 点 x 与点 1 的距离及点 x 与点 a 的距离之和， 故函数 f（ x） =|x+1|+|x+a|的最小值为 | 1+a|=1， 故 a=0 或 2， 故答案为： 0 或 2 13从 2 名语文老师， 2 名数学老师， 4 名英语老师中选派 5 人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为 44 （用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，按 4 种情况讨论，分别求出每种情况下的选派方法数目，最后由分步计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，按 4 种情况讨论： 、 2 名语文老师， 2 名数学老师， 1 名英语老师，有 种， 、 1 名语文老师， 2 名数学老师， 2 名英语老师，有 2 种， 、 2 名语文老师， 1 名数学老师， 2 名英语老师，有 2 种， ， 1 名语文老师， 1 名数学老师， 3 名英语老师，有 6 种， 则一共有 4+12+12+16=44 种选派方法， 故答案为： 44 14圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若 r=1，则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 第 11 页（共 21 页） 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：上面是半球、下面是 圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是 圆锥， 且球的半径是 1，圆锥的底面半径是 1，高为 2， 几何体的体积 V= = ， 故答案为： 15在平面直角坐标系 ，双曲线 =1 的渐近线与椭圆 + =1（ a b 0）交于第一、二象限内的两点分别为 A、 B，若 外接圆的圆心为（ 0， a），则双曲线 离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由双曲线 =1，可得渐近线为 y= x，与椭圆方程联立解得 A，利用两点之间的距离公式可得： = a，解得 利用双曲线 即可得出 【解答】 解：由双曲线 =1，可得渐近线为 y= x， 联立 ，解得 A ， 则 = a， 化为： 4ab+， 解得 =2 双曲线 离心率 = = 故答案为： 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16如图，在 ，点 D 在边 ， ， ， ， C=45 （ 1）求 B 的大小； 第 12 页（共 21 页） （ 2）求 面积及边 长 【考点】 余弦定理的应用 【分析】 （ 1）直接利用余弦定理化简求解即可 （ 2）利用三角形的面积以及正弦定理求解即可 【解答】 解：（ 1）在 ，由余弦定 理，得 = 又 0 B 180，所以 B=60 （ 2） 在 ，由正弦定理，得 ， 即 解得 17一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了 n 个学生的成绩（满分为 100 分）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50， 60）， 90， 100的数据） （ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、 y 的值； （ 2）在选取的样本中，从成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 3 名参加志愿者活动，设 X 表示所抽取的 3 名 同学中得分在 80， 90）内的学生个数，求 X 的数学期望及方差 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）利用频率分布直方图，结合频率 = ，能求出样本容量 n 和频率分布直方图中 x、 y 的值 第 13 页（共 21 页） （ 2）由题意，分数在 80， 90）内的有 4 人，分数在 90， 100内的有 2 人，成绩是 80 分以上（含 80 分）的学生共 6 人从而抽取的 3 名同学中得分在 80， 90）的学生人数 X 的所有可能的取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的数学期望及方差 【解答】 解：（ 1）由题意可知，样本容量 ， ， （ 1） 注：（ 1）中的每一列式与计算结果均为 （ 2）由题意，分数在 80， 90）内的有 4 人， 分数在 90， 100内的有 2 人，成绩是 80 分以上（含 80 分）的学生共 6 人 从而抽取的 3 名同学中得分在 80， 90）的学生人数 X 的所有可能的取值为 1， 2， 3 ， ， 所以， ， 18如图，在四棱锥 ，侧棱 平面 面 菱形， 20， ， D=O， E、 F 分别是线段 中点，延长 ，使 得 G （ 1）证明： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）设 点为 O，以 O 为原点建立空间直角坐标系，根据各数量关系求出 和平面 法向量 的坐标，只需证明 即可得出 平面 （ 2）求出 ，计算 ，于是直线 平面 成角的正弦值等于 | | 第 14 页（共 21 页） 【解答】 证明：（ 1）以 O 为坐标原点，分别以 为 x 轴， y 轴的正方向，建立空间直角坐标 O 在菱形 ， D=， 20， ， ， O 为 中点 又 平面 B（ 1， 0， 0）， D（ 1， 0， 0）， ， ， 1， 0，2） E、 F 分别是线段 中点， ， ， 于是 ， ， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z） 则 ， 令 y= 1，得 ， =（ ， 1， ） =0， 又 面 平面 （ 2） = ， = 2 ， | |=2 ， | |= = = 直线 平面 成的角的正弦值为 | |= 19数列 足 ， ， 是公比为 的等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 n 7， 数列 前 n 项和，求 及 最小值 第 15 页（共 21 页） 【考点】 数列递推式；数列与函数的综合 【分析】 （ 1）可求得 ；从而可得隔项成等比数列，从而分别求通项公式； （ 2）化简 ，从而利用拆项求和法求 论其单调性从而求最小值 【解答】 解：（ 1） 是公比为 的等比数列， ， 即 ； ， 1， 是公比为 的等比数列； ， 是公比为 的等比数列 当 n 为奇数时，设 n=2k 1（ k N*）， = ； 当 n 为偶数时，设 n=2k（ k N*）， = ； 综上， （ 2） Sn=b1+b2+ = = 第 16 页（共 21 页） 即 当 n 3 时， （ n 3） 2 6 和 都是关于 n 的增函数， 当 n 3 时， 关于 n 的增函数，即 ， ， ， 20已知抛物线 C： p 0）的焦点 F 在直线 2x+y 2=0 上 （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）已知点 P 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的任意一点，抛物线在点 P 处的切线分别与 y 轴交于点 B， E，设 = ，求证： 为定值； （ 3）在（ 2）的条件下，直线 抛物线 C 交于另一点 A，请问： 面积是否存在最小值？若存在，请求出最小 值及此时点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程 【分析】 （ 1）抛物线 C 的焦点 在 x 轴上，求出 p=2由此能求出抛物线 C 的方程 （ 2）由点 P 是 C 上异于坐标原点 O 的任意一点，设 设切线 方程为 由 ，得： 4y t=0，由此利用根的判别式、切线方程，结合已知条件能证明 为定值 （ 3）设直线 方程为 x=，由 ，得： ，由此利用韦达定理、弦长公式得到 S ，令 ，则f（ t）为偶函数，只需研究函数 f（ t）在 t 0 时的最小值即可利用导数性质能 求出结果 【解答】 解：（ 1）由题意，抛物线 C 的焦点 在 x 轴上 在方程 2x+y 2=0 中，令 y=0，得 x=1 于是， 解得 p=2 第 17 页（共 21 页） 所以，抛物线 C 的方程为 x 证明：（ 2）由点 P 是 C 上异于坐标原点 O 的任意一点，设 设切线 斜率为 k，则切线 方程为 由 ，消去 x 并整理得： 4y t=0 由 k 0，考虑到判别式 =16 4k（ t） =0 可得 4（ 2） 2=0所以 2=0故切线 斜率 切线 方程为 ，即 在 中，令 x=0，得 所以点 E 的坐标为 ； 在 中，令 y=0，得 所以点 B 的坐标为 所以 ， 所以 故 ，为定值 解：（ 3）由直线 点 F（ 1， 0）， 设直线 方程为 x= 由 ，消去 x 得： 由韦达定理，得 4所以 于是= 令 ，则 f（ t）为偶函数，只需研究函数 f（ t）在 t 0 时的最小值即可 当 t 0 时， ， 第 18 页（共 21 页） 当 时， f（ t） 0， f（ t）为减函数； 当 时， f（ t） 0， f（ t）为增函数 所以，当 t 0 时，函数 f（ t）在 时取最小值 因为 f（ t）为偶函数，当 t 0 时，函数 f（ t）在 时取最小值 当 时，点 P 的坐标为 ；当 时，点 P 的坐标为 综上， 面积存在最小值 ， 此时点 P 的坐标为 或 21已知函数 f（ x） =x 1 a（ x 1） 2 a R） （ 1）当 a=0 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） =f（ x） x+1 有一个极小值点和一个极大值点，求 a 的取值范围； （ 3）若存 在 k （ 1， 2），使得当 x （ 0， k时， f（ x）的值域是 f（ k）， +），求 a 的取值范围注：自然对数的底数 e=【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）求出 g（ x）的导数，得到关于 a 的不等式组，解出验算即可； （ 3）求出 f（ x）的导数，通过讨论 a 的范围确定函数的单调区间，得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域为（ 0， +） 当 a=0 时， f（ x） 00 x 1； f（ x） 0x 1 所以，函数 f（ x）的增区间为（ 1， +），减区间为（ 0， 1） （ 2） g（ x