高一数学函数的图像人教实验B知识精讲

高一数学函数的图像人教实验B版【本讲教育信息】一、教学内容：函数的图像二、学习目标1、熟练掌握基本函数的图像；2、能正确地从函数的图像特征去讨论函数的主要性质；3、能够正确运用数形结合的思想方法解题，熟练掌握基本函数的图像并掌握图像的初等变换三、知识要点（一）常见函数的图像：、一次函数y= kx+b （k0）： 、二次函数y= ax2+bx+c （a0）： 、反比例函数y=（k0）：（二）作函数图像的基本方法有两种：1、描点法：（1）先确定函数的定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）（2）列表（注意特殊点，如：零点，最大值最小值，与轴的交点）（3）描点，连线2、图像变换法：利用基本初等函数变换作图（1）平移变换：水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到。（2）对称变换：函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到（3）翻折变换：函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到（4）伸缩变换：函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍即可得到；函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍即可得到（三）有关结论：1、若f（a+x）=f（ax），xR恒成立，则y=f（x）关于x=a对称2、若f（a+x）=f（bx），xR恒成立，则y=f（x）关于x=（a+b）/2对称3、若f（a+x）= f（ax），xR恒成立，则y=f（x）关于点（a，0）对称4、函数y=f（a+x）与y=f（bx）的图像关于直线x=（ba）/2对称5、若定义在R上的函数f（x） 关于x=a和x=b（ba）对称，则y=f（x）为周期函数，2b2a为它的周期（未必是最小正周期）6、函数y=f（x）关于y= x对称的函数为x=f（y）即y= f 1（x）（四）关于周期：1、f（x+a）=f（x） （a0）T=a2、f（xa）=f（x+a） （a0）T=2a3、f（xa）= f（x） （a0）T=2a4、f（xa）= （a0）T=2a5、f（x）关于直线x=a对称，且为偶函数T=2a【典型例题】例1、说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像解：方法一：（1）将函数的图像向右平移3个单位，得到函数的图像；（2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像方法二：（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像；（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像例2、已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图，求b的范围 解法一：观察f（x）的图像，可知函数f（x）的图像过原点，即f（0）=0，得d=0，又f（x）的图像过（1，0），f（x）=a+b+c=0又有f（1）0，即a+bc0由， 得b0，故b的范围是（，0）解法二：如图f（0）=0有三根0，1，2，f（x）=ax3+bx2+cx+d=ax（x1）（x2）=ax33ax2+2ax， b=3a，当x2时，f（x）0，从而有a0，b0 例3、研究函数的图像与性质解：（1）配方所以函数的图像可以看作是由经一系列变换得到的，具体地说：先将上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得的图像向左移动4个单位，向下移动2个单位得到.（2）函数与x轴的交点是（6，0）和（2，0），与y轴的交点是（0，6）（3）函数的对称轴是x=4，事实上如果一个函数满足：（），那么函数关于对称.（4）单调性：函数在上是减函数函数在上是增函数例4、方程的实根共有几个？解：将方程看成函数与函数的图像相交，两个曲线有一个交点方程有一个解评析交点个数问题，可利用数形结合求得。交点的横坐标即方程的解本讲涉及的主要数学思想方法1、对于函数图像的变换，要注意数形结合思想的灵活应用，更好地将代数的方法与几何的方法相结合。2、已知函数的图像，运用平移、伸缩、对称变换作相关函数的图像，关键是分析两函数解析式的结构特征，寻找x之间、y之间的变化关系；等价化简解析式时，容易忽略定义域和值域。3、在画函数的图像时要注意分类讨论思想的应用。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、设函数y=f（x）的定义域为，则函数y=f（x1）与y=（1x）的图像的关系为关于（ ）. 直线y=0对称. 直线x=0对称. 直线y=1对称. 直线x=1对称2、当a0时，y=ax+b和y=bax的图像只可能是（ ） *3、已知函数的定义域为，其图像如图所示，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 4、图像经过平移后不能同时经过两点A（1，0）、B（1，2）的一个函数为（ ）A. y=2xB. C. D. y=x25、已知函数，则使得f（x）1的自变量x的取值范围为（ ）A. （，20，10 B. （，2）0，1 C. （，2）1，10 D. 2，01，10*6、设函数y=f （x）满足f （x+1）=f （x）+1，则方程f （x）=x的根的个数是 （ ）A. 无穷个 B. 没有或者有限个C. 有限个 D. 没有或者无穷个二、填空题*7、当a1时，已知x1，x2分别是方程x+ax= 1 和x+logax= 1的解，则x1+x2的值为_*8、如下图所示，向高为的水瓶同时以等速注水，注满为止；（1）若水深与注水时间的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 ；（2）若水量与水深的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 ；（3）若水深与注水时间的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 ；（4）若注水时间与水深的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 9、已知函数f（x）=log2（x+1），将y=f（x）的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图像，则函数F（x）=f（x）g（x）的最大值为_三、解答题10、作出函数的图像，并说明其与函数y=log2x的图像的关系。*11、对函数y=f（x）定义域中任一个x的值均有f（x+a）=f（ax），（1）求证y=f（x）的图像关于直线x=a对称；（2）若函数f（x）对一切实数x都有f（x+2）=f（2x），且方程f（x）=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 *12、设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：试题答案1、D2、A3、由，排除A、D；由，排除B，选C4、A5、A6、D7、解： x+ax= 1得ax= 1xx+logax= 1得logax= 1x利用y=logax与y= ax互为反函数，又分别与y=x1相交y=x1与y=x 垂直x1+x2=18、C，A，D，B9、解析：g（x）=2log2（x+2）（x2）F（x）=f（x）g（x）=log2（x+1）2log2（x+2）=log2x+10，F（x）=2当且仅当x+1= ，即x=0时取等号 F（x）max=F（0）=2 答案：210、解：或或11、（1）证明：设（x0，y0）是函数y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0），=a，点（x0，y0）与（2ax0，y0）关于直线x=a对称，又f（a+x）=f（ax），f（2ax0）=fa+（ax0）=fa（ax0）=f（x0）=y0，（2ax0，y0）也在函数的图像上，故y=f（x）的图像关于直线x=a对称 （2）解：由f（2+x）=f（2x）得y=f（x）的图像关于直线x=2对称，若x0是f（x）=0的根，则4x0也是f（x）=0的根，若x1是f（x）=0的根，则4x1也是f（x）=0的根，x0+（4x0）+ x1+（4x1）=8即f（x）=0的实根之