江苏扬州高三数学期中调研考试

20182019学年度第一学期期中调研测试试题高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知i为虚数单位，若复数z满足，则复数z_【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算即可得到结果.【详解】z1+2故答案为：3-i【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，属于基础题.2.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x2，即定义域为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础3.已知x，yR，直线与直线垂直，则实数a的值为_【答案】【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解【详解】x，yR，直线（a1）x+y1=0与直线x+ay+2=0垂直，（a1）1+1a=0，解得a=，实数a的值为故答案为：【点睛】两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直： ；平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.4.已知函数为偶函数，且x0时，则_【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）的值，结合函数为偶函数可得f（1）=f（1），即可得答案【详解】根据题意，函数f（x）满足x0时，f（x）=x3+x2，则f（1）=1+1=2，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）=f（1）=2；故答案为：2【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题5.已知向量(1，a)，(，)，若，则实数a_【答案】1【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出【详解】，（3a+1）=0，解得a=1故答案为：1【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.设ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，cosB，那么角A的大小为_【答案】【解析】【分析】由题意可得sinB=,再结合正弦定理即可得到结果.【详解】cosB=，B为钝角，可得sinB=由正弦定理可得：=，可得sinA=A为锐角，可得：A=故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.设实数，满足则的最大值为 【答案】3【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，则直线过点C时取最大值3考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.在平面直角坐标系中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为_【答案】6.【解析】分析：抛物线的准线方程为，根据定义可求得，即为焦点到准线的距离详解：由题意得抛物线的准线方程为，抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，解得该抛物线的焦点到准线的距离为6点睛：本题考查抛物线定义的应用及方程中参数的几何意义，解题的关键是正确理解抛物线的定义，属容易题9.已知条件p：xa，条件q：若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用不等式的解法化简q，根据必要不充分条件即可得出范围【详解】条件q：，化为：（x+2）（x1）0，解得2x1p是q的必要不充分条件，a2则实数a的取值范围是故答案为：【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件2等价法：利用 与非非， 与非非， 与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程【详解】双曲线的一个焦点为（3，0），m+m+1=9，m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=x故答案为：y=x【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查11.若函数(A0，0，)的部分图像如图所示，则函数在，0上的单调增区间为_【答案】(区间开闭皆可)【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，求得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）在，0上的单调增区间【详解】由图象，知A2，T8，所以，8，函数过点（5，2），所以，即因为，所以，得：，函数为：，由：，得：，令k0，得函数在，0上的单调增区间为故答案为：(区间开闭皆可)【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.12.在ABC中，AH是边BC上的高，点G是ABC的重心，若ABC的面积为，AC，tanC2，则_【答案】1【解析】【分析】由题意画出图形，结合图形求出AH、HC和BC、BH的值，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积的值【详解】如图所示，ABC中，AH是高，AC=，tanACB=2，AH=2，HC=1；又ABC的面积为S=BCAH=BC2=+1，BC=+1；BH=，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，2），B（，0），C（1，0），重心G（，），则+=（0，2）+（1+，0）=（1+，2），+=（，）+（，）=（，），（+）（+）=（1+）+（2）（）=1故答案为：1【点睛】本题考查了三角形的边角关系以及平面向量的数量积计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键，是中档题13.已知正实数a，b满足，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由=2a+，代换后利用基本不等式即可求解【详解】正实数a，b满足2a+b=3，2a+b+2=5，则=2a+=2a+b+2+4=1+=1+（）2a+（b+2）=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误14.已知函数，（e为自然对数的底数，e2.718）对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，使得，则整数a的取值集合是_【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性求出f（x）的值域，求出g（x）的单调性，问题转化为关于a的不等式组，求出a的范围即可【详解】f（x）=2（x），令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：xe，故f（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2e），故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），对于g（x）=lnxax+5，x（0，e），a=0时，g（x）=lnx+5，g（x）递增，在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），不合题意，a0时，g（x）=a，令g（x）=0，解得：x=，若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），则只需0e，故a，令g（x）0，解得：0x，令g（x）0，解得：xe，故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而x0时，g（x），g（）=lna+4，g（e）=6ae，若对于任意的x0（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），只需，解得：2.2ae27.29，故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，故答案为：3，4，5，6，7【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC中，已知，设BAC（1）求tan的值；（2）若，(0，)，求cos()的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义，求出cos的值，再利用同角的三角函数关系求出tan的值；（2）利用三角恒等变换公式计算即可【详解】（1）由，得，所以，又因为，所以 （2）， 由（1）知：，【点睛】本题考查了平面向量的数量积与三角函数求值计算问题，是基础题16.已知，函数（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a1时，解不等式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可【详解】（1）f（x）2x对x（0，2）恒成立，a+2x对x（0，2）恒成立，+2x2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，a（2）当a=1时，f（x）=1，f（x）2x，12x，若x0，则12x可化为：2x2x+10，所以x；若x0，则12x可化为：2x2x10，解得：x1或x，x0，x，由可得12x的解集为：（，【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值【详解】直线x3y10=0与圆O：x2+y2=r2（r0）相切，圆心O到直线x3y10=0的距离为r=（1）记圆心到直线l的距离为d，d=当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），即kxy+（12k）=0，解得k=，此时直线l的方程为3x+4y10=0综上，直线l的方程为x=2或3x+4y10=0；（2）点M、N的纵坐标之积为定值10设P（x1，y1），直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），直线PA、PB的方程分别为y3=，y3=令x=0，得M（0，），N（0，），则（*）点P（x1，y1）在圆C上，即，代入（*）式，得为定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值18.江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；（2）求y的最小值及此时tan的值【答案】（1）；（2）铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为.【解析】【分析】（1）由COF=，南京园在中心广场的南偏西45方向上，且到中心广场的距离为，求出AOE=，由此能求出南京园到柏油路的最短距离d1关于的表达式（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3，则，求出y=2（）2+（2）2+（）2=2010sin（2），（0，），由此能求出铺设三条鹅卵石路的总费用y的最小值及此时tan的值【详解】（1）COF=，南京园在中心广场的南偏西45方向上，且到中心广场的距离为AOE=，南京园到柏油路的最短距离d1关于的表达式为d1=sin（）（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3由（1）知：，y=2（）2+（2）2+（）2=20+=2010（sin2+cos2）=2010sin（2），（0，），当2=时，ymin=2010（万元）此时2，tan2=1，解得：tan，铺设三条鹅卵石路的总费用为（2010）万元，此时tan的值为【点睛】题考查函数表达式的求法，考查费用的最小值及对应的正切函数值的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求OAB的面积S的范围【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以 所以，椭圆的方程为 （2）设，而，则， ， 因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得， 所以 由原点到直线的距离为，得，化简得： 联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且 ，所以的面积，因为在为单调减函数，并且当时，当时，所以的面积的范围为【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20.已知函数，（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x0，f（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程（2）求出，x0，则f（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围（3）h（x）=x22x+4lnx，从而（x1+x2）22（x1+x2）4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t4lnt，（t0），（11分）则=2t+2=，由此利用导数性质能证明x1+x23【详解】（1），所以点坐标为； 又，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为 （2） 正0负单调增极大值单调减由， 得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为 （3），因为，所以，即，令， 则，当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增所以函数在时，取得最小值，最小值为3 因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或因为为正实数，所以【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题（附加题）21.在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数的值.【答案】.【解析】【分析】设直线y=kx+1上任意点M（x，y）在矩阵对应的变换下得到的点M（x，y），列出方程代入P坐标求解k即可【详解】设直线上任意点在矩阵对应的变换下得到的点，则，即， 代入直线方程得：，将代入上式，解得：【点睛】本题考查矩阵与简单的变换，基本知识的考查22.假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设Ai（i=1，2，3）表示第i次投篮命中，表示第i次投篮不中，设投篮连续命中2次为事件A，则连续命中2次的概率：P（A）=P（+），由此能求出结果（2）命中的次数X可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【详解】（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=（2）命中的次数可取0，1，2，3；，,0123所以 答：的数学期望为2【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题23.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与A1C所成角的余弦值（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出直线AB与