数学冲刺第三部分十五导数及其应用

2012考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.导数的概念与运算2.导数几何意义的运用3.导数的应用4.利用导数的几何意义5.利用导数探讨函数的单调性6.利用导数求函数的极值勤最值【易错点点睛】易错点 1导数的概念与运算1（2012精选模拟）设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2005(x) ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx【错误解答】 选A【错解分析】由f1(x)=f0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx)=sinx,f2005(x)=f2004(x)=f0(x0=sinx前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.【错误解答】 选B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.【错解分析】上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）=2x+1.正确的是（2x+1）=2,所以x=1时的导数是2，不是3。【正确解答】 选A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f(1)=33.(2012精选模拟题) 已知f(3)=2f(3)=-2，则的值为 （ ）A-4 B0 C8 D不存在【错误解答】 选D x3,x-30 不存在。【错解分析】限不存在是错误的，事实上，求型的极限要通过将式子变形的可求的。对诊下药 选C = 【特别提醒】1理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则 的运用。2复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。【变式训练】1 函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值，则a= ( )A.2 B.3 C.4 D.54 已知f(x)=ln|2x|, 则f(x)= ( )A. B. C. D. 答案： A 解析：当x0时，f(x)=ln(2x), f(x)=cf(x)= .5已知函数f(x)=ln(x-2)-(1)求导数f(x) 答案： f(x)=(2)解不等式:f(x)0答案：令f(x)=即（i）当a-1时，x2+2x-a恒成立，x2.(ii)当a-1时，的解集为x|x当-18时，2, x.综合得，当a8时，f(x)0的解集为（2，+）.当a8时，f(x)0的解集为（，+）.易错点 2导数几何意义的运用1.(2012精选模拟题)曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_.【错误解答】 填2 由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，切线方程为y-1=x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=22=2。【错解分析】根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。【错误解答】 （1）函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. 又两函数的图像在点P处有相同的切线，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.【错解分析】上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由、两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。 由y0,若t0,则tx0,则-xt.则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以t3或-3。即t-9或t3。又当-9t3时，函数y=f(x0-g(x)在（-1，3）上单调递增，所以t的取值范围（-，-9）（3，+）解法2 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，且y=(3x+t)(x-t)0在(-1,3)上恒成立，若x(-1,1),则f(x)0f(x)在(-,-1)与(1，+)上是增函数。若x-1,1时，f(x) 0,故f9x)在-1，1上是减函数。f(-1)=2是极大值。f(1)=-2是极小值。（2）解：曲线方程为y=f(x)=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上。设切点M（x0,y0）,则点则a=_.答案：1 解析：曲线在（a,a3）处的切线斜率为3a2.切线方程为y-a3=3a2(x-a).且它与x轴.x=a的交点为（）、（a,a3）,S=a4=1,解得a=1.3 已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx(a0)(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。答案： b=2时，h(x)=lnx-ax2-2x, 则h(x)=-ax-2=-函数h(x)存在单调逆减区间，h(x)0,则ax2+2x-10有x0的理.当a0时，ax2+2x-10总有0的解.当a0总有0的解.则=4+4a0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此时-1a1时，r(t)0,所以r(t)在1，+上单调递增，故r(t)r(1)=0.则lnt.这与矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行,证法1得(x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1).因为x10,所以()ln().令t=,得(t+1)lnt=2(t-1),t1 令r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t1,则r(t)=lnt+-1.因为(lnt-)=-,所以t1时,(lnt+)0.故lnt+在1,+ 上单调递增.从而lnt+-10,即r1(t)0.于是r(t)在1，+上单调递增.故r(t)r(1)=0.即（t+1）lnt2(t-1). 与矛盾，假设不成立。故C1在点M处的切与C2在点N处的线不平行.4 已知函数f(x)=|1-|,(x0)(1)证明：0a1;切线与x轴、y轴、正向的交点为(x0(2-a0),0)和（0，）故所求三角形面积表达式为A（x0）=易错点 3导数的应用1（2012精选模拟）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间-2，2上最大值为20，求它在该区间上的最小值。【错误解答】 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)0,解得x3,函数f(x)的音调递减区间为（-，-1）（3，+）（2）令f(x)=0,得x=-1或x=3当-2x-1时,f(x)0;当-1x0;当x3时，f(x)0.x=-1,是f(x)的极不值点，x=3是极大值点。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.f(x)的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14.【错解分析】在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较大小才能产生最大（小）值点，而上面解答题直接用极大（小）值替代最大（小）值，这显然是错误的。【正确解答】 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)0,解得x3.(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在-1，2因为在（-1，3）上f(x)0,所以f(x)在-1，2上单调递增，又由于f(x)在-2，-1上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2，2上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7即函数f(x)在区间-2，2上的最小值为-7。2（2012精选模拟）已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。【错误解答】 f(x)=3ax2+6x-1,因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)=3ax2+6x-10对任何xR恒成立。 解得a0时，f(x)是减函数，但反之并不尽然，如f(x)=-x3是减函数，f(x)=3x2并不恒小于0，（x=0时f(x)=0）.因此本题应该有f(x)在R上恒小于或等于0。R上的减函数。综上，所求a的取值范围是（-，-3）。3（2012精选模拟）已知aR,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。【错误解答】 f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a.当a2-4a0,即a4或a0时，方程（*）有两个不相等的实数根x1、x2，因此函数f(x)有两个极值点。当a2-4a=,即a=或a=0时，方程（*）有两个相等实数根x1=x2。因此函数f(x)有一个极值点。当a2-4a0,即0a0即a4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1、x2,不妨设x1x2.于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+ )F(x)+0-0+F(x)f(x1)有极大值f（x2）有极小值即此时f(x)有两个极值点。（2）当=0，即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2于是f(x)=ex(x1-x1)2.故当x0;当xx1时，f(x)0因此f(x)无极值。（3）当0，即0a0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,故f(x)为增函对x的一定范围成立。因此，mex-x这个结果显然是错误的。【正确解答】 （1）函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+ )连续，且f(x)=1-,令f(x)=0,得x=1-m.当-mx1-m时，f(x)1-m时，f(x)0,f(x)为增函数。根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x(-m,+ )都有f(x) f(1-m)=1-m，故当1-m=f()0,即m1时，f(x)0.即m1且mZ时，f(x)0.(2)证明：由（1）可知，当整数m1时，f(1-m)=1-m0,又f(x)为连续函数，且当m1时，f(e-m-m)与f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而当m1时，f(e2m-m)=e2m-3m(1+1)2m-3m1+2m+-3m0.(m12m-11).类似地，当整数m1时，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上为连续增函数，且f(1-m)与f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x+（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.故当整数m1时，方程f(x)=0在e-m-m,e2m-m内有两个实根。5用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【错误解答】 设容器的高为x,容器的容积为V，则V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320xV=12x2-552x+4320=0 得x1=10,x2=36又x10时，V0,10x0,x36时,V0当x=36时，V有极大值V（36）0故V没有最大值。【错解分析】上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f(x)的符号时，计算错误，x0;10x36,V36,V0.【正确解答】 设容器的高为x，容器的容积为V。则V=（90-2x）（48-2x）x =4x3-276x2+4320x (0x24)V=12x2-552x+4320由V=12x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36x0,10x36时，V36时V0.所以，当x=10时V有最大值V（10）=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以当x=10时,V有最大值V（10）=1960。所以该窗口的高为10cm，容器的容积最大，最大容积是1960cm3.【特别提醒】1证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)0(或f(x)0，则f(x)=0有两个不相等的实x1和x2 (x10时，函数f(x)在(-，+)上有极值由A=4m2-12m-160得 m4，因此，当m4时，Q是正确的综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为 (-，-1)(4，5)6，+2 已知函数f(x)=0,1(1)求f(x)的单调减区间和值域；答案：对函数F(x)求导，得f(x)=令f(x)=0解得x=或x=当x变化时f(x)、f(x)的变化情况如下表X0(0, )(,1)1F(X)-0+-4-3所以，当x(0，)时f(x)是减函数； 当x(，1)时f(x)是增函数当x0，1时f(x)的值域为-4，3（2）设a1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x0,1若对于任意x10，1，总存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.答案：对函数g(x)求导，得g(x)=3(x2-a2)因为a1时，当x(0，1)时，g(x)3(1-a2)0因此当x(0，1)时，g(x)为减函数，从F(x)=g(x)-2g()=lnx-ln，当0xO，F(x)a时，F(x)0，因此F(x)在(a，+)上为增函数从而x=a时，F(x)有极小值F(a) 因为F(a)=0，ba所以F(b)0即00，G(x)a，所以G(b)0 即g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln24 设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR, (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值。答案： f(x)=6x26(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因f(x)在x=3取得极值，所以f(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3经检验当a=3时x=3为f)(x)的极值点（2）若f(x)在（-，0）上为增函数，求a的取值范围。答案：令f(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1当a0，所以f(x)在(-，a)和(1，+)上为增函数故当0o1时f(x)在(-，0)上为增函数5 某企业有一条价值a万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造，假设增加值y万元与技改把风入x万元之间的关系满足y与（a-x）x2成正比例；当x=时，y=;0t,其中t为常数且t0,2.(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式，并求其定义域；答案： f(x)=8a2x212x3=(0x，t2)（2）求出增加值y的最大值，并求出此时的技改投入x值。答案： f(x)=16a2x-36x2，令f(x)=0，得x=a，当t1时f(x)=36(x2-a2)a) f(x)在0，上是减数， 当x=t时，ymas=f()=,当1t2时f(x)=-36(x2-a2)a 0x0；x时f(x)0y=0得x=x0+S=(x20+2) (x00)=S=(3x20+4-) 令S=0得x0= 又0x0时，S0; 0.当x0=时，S最小。把x0=代入得l的方程为：2x+3y-8=0.2由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列Pn(xn,yn)求x1;求xn与xn+1满足的关系式；若a0，试判断xn与a的大小关系并说明理由【解析】 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到xn、xn+1的递推关 xn-xn+10,x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1.x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0(xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0.xn+2xn+1=3a.(3)由（2）得xn+1=-xn+1-a=-(xn-a)故数列xn-a是以x1-a=a为首数，公比为-的等比数列。xn-a=(-)n-1当n为偶数时，xn-a=-a(-)n0. xn0. xna.难点 2利用导数探讨函数的单调性1已知mR,研究函数f(x)=的单调区间【解析】 先求f(x),再令f(x)0和f(x)0可解得函数的递增区间和递减区间。【答案】 f(x)在（-1，-）上是减函数。当0m3时，x1x2.在区间（-，-）（-1，+）上g(x)0,即f(x)0，f(x)0.f(x)在（-，-1）上是增函数。m=3时，x1=x2.在区间(-, -1)（-1，+）上g(x)0，f(x)3时x1x2。在区间(-, -1)（-，+）上，g(x)0，f(x)0，即f(x)0.f(x)在（-1，-）上是增函数。2.已知函数f(x)=在x=1处取极值，且函数g(x)= 在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求a的取值范围。3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在-1，0和4，5上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性。（1）求C的值；（2）在函数f(x)的图像上是否存在一点M（x0,y0）使得f(x)在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。【解析】 根据题设条件作出f(x)的图像知,f(x)有两个极值点，一个为x=0，另一个极值点在2，4之间，借助这个结论可判定在点M处的切线的斜率能否等于3b，【答案】（1）由题意可知f(x)在-1，0和0，2上具有相反的单调性。x=0是f(x)的一个极值点，故f(0)=0。即3ax2+2bx+c=0有一个解为x=0c=0。（2）f(x)交x轴于点B（2，0）。8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).令f(x)=0，则3ax2+2bx=0,x1=0,x2=f(x)在0，2和4，5上具有相反的单调2-4， -6-3。假设存在点M（x0,y0），使得f(x)在点M处的切线斜率为3b，则f(x0)=3b。即3ax20+2bx0-3b=0。=（2b）2-43a(-3b)=4b2+36ab=4ab(+9)又-6-3,0.不存在点M（x0,y0），使得f(x)在点M处的切线斜率为3b。4已知函数f(x)=+（b-1）x2+cx(b,c为常数)（1）若f(x)在x(-,x1)及x（x2+）上单调递增，且在x（x1,x2）上单调递减，又满足0x2-x11.求证b2x1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。【解析】 由f(x)的单调性可知x1、x2是f(x)=0的两根，x2-x1x1,x2-x10,x1x1+10t2+bt+cx1.难点 3利用导数求函数的极值和最值1已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上奇函数，当x=-1时，f(x)取得极值2。（1）求f(x)的单调区间；（2）若对于x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求m的最小值。【解析】 由题设条件易求得a、b、c的值。因此由f(x)0和f(x)0，解得x1或x-1. f(x)0，解得1-x-1; x(0,1), 1a+0,即f(x)0.f(x)在（0，1）上是单调递增的。（3）当a-1时，f(x)在（0，1）单调递增，fmax（x）= f(1)=-6。a=-(不合题意舍去)当a-1，令f(x)=0，x=当x（-，）时，f(x)0x（，+）时，f(x)0x=时，f(x)有最大值f（）。令f()=-6a=-2.此时x=（0，1）。存在a=-2,使f(x)在（0，1）上有最大值-6。3已知f(x)=-x3+ax,其中aR,g(x)=,且f(x)g(x)在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围。x=时，h(x)有最小值h()=-a0.3 已知函数f(x)=在（1，+）上为减函数，则a的取值范围为 （ ）A0a B01ln恒成立，x4 函数y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值、最小值分别是 （ ）A5，-15 B5，-4 C-4，-15 D5，-166 函数f(x)=x3-2x+3的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是 （ ）A相切 B相交且过圆心 C相交但不过圆心 D相离答案： C解析：f(x)=3x2-2.f(1)=1, 切线方程为y=x+1,点（0，0）到切线距离d=相交但不地圆心.7 函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是_.答案：(0,) 解析：令f(x)=lnx+19时，f(x)开口向上且0,说明存在砸锅间使f(x)0,0m9,f(x)在R上不是增函数.综上怕述，所求m的取值范围是0，9.10 求函数f(x)=在，3上的最大值和最小值。答案：解：f(x)=令f(x)=0既=0，x=1.当x=1时可得f(x)0,当10当x=1时可得f(x)的极小值f(1)=ln2f(3)=f()=-ln2-ln=-ln2-(ln3-ln2)=ln2-ln3=f(2), ln2ln3, f()1）时，f(t-x) 恒成立，试求m的最大值。答案：当a=时，f(x)= x2-x+1,f(t-x)= （t-x）2(t-x)+1,f