专家预测数学信息卷二

2006年高考专家预测高考数学信息卷二1.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制就是“逢二进一”。如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制数就是,那么将二进制数转换成十进制数是A.B. C. D. 解析：在理解二进制和十进制互化的基础上，所求问题就是等比数列前n项和的问题.故选C。2.已知平面/平面,直线,平面,间的距离为8，则在内到点P的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是mnOPA.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析：如图，设点P在平面上的射影是O，则OP是平面，的公垂线段，OP=8。在内到点P的距离等于10的点到O点的距离等于6,故点的集合是以O为圆心，以6为半径的圆。在内到直线的距离等于9的点的集合是两条平行直线m,n，它们到点O的距离都等于,所以直线m,n与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求点的轨迹是四个点。故应选C。3. 如图，正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是A圆B.双曲线C.两个点D.直线解析： 点P到A1D1的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P的轨迹是两个点. 4.从原点出发的某质点M，按向量移动的概率为,按向量移动的概率为,设可达点(0,n)的概率为Pn,求Pn的表达式.解析：到达点(0,n+2)有两种情况：从点(0,n)按向量移动，从点(0,n+1)按向量移动，概率分别为与,所以：.，故数列是以P2-P1=为首项，为公比的等比数列。所以: 于是Pn-P1=(Pn-Pn-1)+(Pn-1-Pn-2)+(P2-P1)=。5.若A=,则A与B关系为 ( ) A. B. C. D. 解析:A 由题意得:故选A.评析:本题考查元素与集合关系,关键在于理解B由哪些元素组成.6不等式的解集是-4,0,则a的取值范围是 （ ） A（- B. C.(-) D.(-xylo解析：A 设y1=, y2=在同一坐标系内作y1及y2的图象，y1的图象是半圆(x+2)2+y2=4(y0),y2的图象是斜率为的直线系，依题意得，y2的图象必须在如图切线的上方，而圆心（-2，0）到直线4x-3y+3-3a=0的距离d=必须成立，解得a-5.故选 A.评析:本题考查数形结合数学思想方法,转化为直线与圆的图象进行比较解题.7是定义在实数集上的奇函数，且，当01时，则使成立的的范围是 ( )A.(2n-1，2n)， B.(4n-1，4n)， C.(4n-2，4n-1)，D.(4n-2，4n)，解析:D 由为奇函数,得即的周期为F=4. 又又 的一个区间为(-2,0),又的周期为4成的范围是评析:本题考查奇函数,周期函数的运用抽象函数关系式的推导分析得的范围,培养学生利用抽象函数并分析推理能力.8.函数在区间上有最小值，则函数在区间 上一定 ( )A 有最小值 B 有最大值 C 是减函数 D 是增函数解析: D 由函数在区间上有最小值可得:a的范围应为a0，所以g(x)为增函数，故选D.评析:二次函数的单调性运用,由一阶导数的正负判断函数的单调性.9【理】对于，下列列结论成立的是 （ ）A是零 B是纯虚数 C是正实数 D是负实数【文】已知函数f（x）满足f（x+1）=+f（x）（xR），且f（0）=1. 则数列（）前20项的和为 ( )A335 B315 C325 D305解析:【理】C 选D .【文】A 由f（n+1）-f（n）=得,数列（）是首项为f (1)=+f(0)= 公差为的等差数列, s20=20 , 故选A .评析:(理)本题考查复数的基本运算,(文)由抽象函数递推关系,构造新数列再求和.10动点到直线的距离为,点P的轨迹为双曲线（且原点O为准线对应的焦点）, 则的取值为 ( )A. B. C. D. 解析: D 由双曲线定义及点到原点的距离为可得: , ,故选D .(也可直接用解析法推导)评析:由几何意义理解，由双曲线的第一定义求解.11已知命题：函数的值域为，命题：函数 是减函数，若或为真命题，且为假命题，则实数的取值范围是（ ）ABCD或解析C 真的值域为可取到一切正实数；真函数 是减函数 是增函数由于或为真命题，且为假命题， 和一真一假，若真假，则不存在；若假真，则所以所求范围为评析:对数的值域为R,则二次函数的判断式大于或等于0,运用指数函数单调性注意前面负号,命题真值表的运用.12向量，定义运算“”为，则对命题，则；的判断中，真命题是 （ ）A.或 B.且 C.且 D.或解析：D.提示：，则，为假命题；，为假命题；排除A、B、C选项.（可验证真）评析:本题利用新定义关系式,考查向量的坐标运算.13. 设，则的反函数是（ ）A B C D解析：B.逆用二项式定理得，=.特别注意，函数的表达式中最后一项为1（不是）！评析:本题考查二项式定理展开式的逆运算及反函数的求法.14椭圆C1：的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则等于（ ）A1B1CD15解析：B因为C为抛线上的点，所以P到其焦点F2的距离与其到准线l的距离 相等，因为P也是椭圆上的点，P到其准线l的距离也是，由椭圆第二定义，得 再由椭圆第一定义，得 ，由两式解得，故评析：本题考查抛物线定义，椭圆的两个定义用最基本的知识解决问题，是考生容易忽视的本题属难题16记项正项数列为， 为其前项的积，定义为“叠乘积”如果有2005项的正项数列的“叠乘积”为，则有2006项的数列的“叠乘积”为 ( )A B C D 解析B : , .评析:本题是数列新定义题型,注意仔细分析题意,找出递推关系,分析解决问题.17（理科做）求极限：= （ ） (A) (B) (C) (D)不存在（文科做）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D18解析:（理）A= （文）A.提示：为奇数，则；为偶数，则.即（为奇数）且恒成立（为偶数），但，因此，.注意的验证和变量分离思想的应用.评析：理：本题考查极限的有关运算，注意分子有理化；文：本题考查数列极限值，注意分类讨论。16. 2006年某学科能力测试共有12万考生参加,成绩采用15级分,测试成绩分布图如下:解析：B 由题意结合条形图分析得成绩高于11级分的考生数的百分比大约为： ,所以考生数大约为：人，故最接近的人数为10000人，故选B。评析：本题考查识图理解能力，及相关估算能力。19.已知x,y ,且x+2y1,则二次函数式u=x2+y2+4x-2y的最小值为。 （ ） A-3 B. C. 24 D.20. 解析：D 因为x,y ,且x+2y1,所以表示的平面区域如下图所示： 函数式u=x2+y2+4x-2y=(x+2)2+(y-1)2-5当x=-2,y=1时，即取P（-2，1）时，u的值为 最小，但是点P（-2，1）不在区域x+2y1内，所以函数u=x2+y2+4x-2y不在点P处取得最小值。但是，当整体V=(x+2)2+(y-1)2取得最小值时，u就取得最小值，即取最小值。 可以理解为在区域x+2y1上任取一点Q（x,y）到点P（-2，1）的 距离的最小值，故作直线PQ垂直于直线：x+2y=1,垂足为Q就是要求的符合条件的点。 又LPQ：2X-Y+5=0, 由 得点Q的坐标为Q（ 把Q（代入u=x2+y2+4x-2y=(x+2)2+(y-1)2-5=（xy01-1-2.P(-2,1)Q(x,y)x+2y=1 即为所求的最小值。故选（D）。 评析：本题考查线性规划问题，注意转化为距离问题解决。21.已知函数设,若,则 ( ) A. B. C. D. 解析：A ， 可设， 则 所以有，故选A.评析:本题采用“特殊值法”，考查考生逻辑推理能力，及相关的运算能力.22若实数，满足，则的最大值为 ；22解析：6； 如图画出可行域（阴影部分），记，化为，将其视为直线在可行域内移动，移到图中 A点（直线与圆在第一象限的交点）时，纵截距最大，即最大。 解得A坐标（2，4）， 故（x + y）max=2+4=6.评析:本题是线性规划问题,先事出可行域,再通过平移目标函数求出其最值.23对曲线离心率等于（其中，、*）的不同形状的双曲线个数为_ 解析：因，且，所以。又、*，故当p=2时，q可取3，4，5，9共7个值，当p=3 时，q可取4，5，6，9共6个值，当p=8时，q可取9共1个值。可构成个数为1+2+3+7=28个。去掉相等的2个：，共有26个不同形状的双曲线。 评析:结合双曲线离心率的范围,由对数式意义限定P,q范围,再分类讨论出双曲线的个数 24. 给定实数，定义为不大于的最大整数，为的小数部分,且,则下列结论 ; 是周期函数 ; 是偶函数 ; . 其中不正确的是 .24解析： 解析：由为不大于的最大整数,可得 即正确 ; 又 ,即是周期函数,即正确; 而, ,即不是偶函数, 不正确 ; 由即为不大于的最大整数,可得,即不正确 .故应填 .评析：此题考察新定义数学概念的应用及性质研究, 此题源于数学竞赛,而又不拘泥于数学竞赛的难度考察,适合高考的考查要求.25已知，在等比数列中，则是数列中的第 项解析：5 设等比数列的公比为q,由题意得： 即公比， 又由 所以是数列中的第5 项.评析：本题变换借助等比数列作为背景和载体，考查三角函数公式变换，较新颖。26已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，考查下列结论：（1）；（2）为偶函数；（3）数列为等比数列；（3）数列为等差数列。其中正确的是_。解析： 将数列的前几项写出 ： f(2)=1 ;f(22)= ;归纳猜想得：； 从而比较可得an=2n,bn=n. 又由已知得f(0,故f(0)=f(1);若令a=b=x，则可得：2xf(x)=f(x2), 即f(x)=,可推得f(x)为奇函数，所以正确。评析：本题目是开放性试题，考查归纳猜想数学思想方法，及函数奇偶的判定。27.下表为某班英语及数学成绩的分布,学生共有50人,成绩分1到5个档次,例如表中所示英语成绩为4分,数学成绩为2分的学生为5人,将全班学生的姓名卡片混合在一起,任取一张,该卡片同学的英语成绩为、数学成绩为设、为随机变量。（注：没有相同姓名的学生）（1） 分别求出的概率及且的概率；（2） （文）求的值； （理）若的期望值为，试确定、的值。解：（1）； （2）（文） （理） 又， ， 由（1），（2）得评析：本题考查概率问题，概率分布列，对于有些问题的概率求法，从正面不好求时，可以从反面求；注意各种概率情况要考虑全面。28.如图，ABCD是边长为的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，G是EF的中点， （）求证平面平面； （）求GB与平面AGC所成角的正弦值 （）求二面角BACG的大小解法一：（几何法）（）证明：正方形ABCD 二面角CABF是直二面角，CBAB，CB面ABEF AG，GB面ABEF，CBAG，CBBG 又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，AG=BG=（改成），AB=2a， AB2=AG2+BG2， AGBG CGBG=B AG平面CBG 而AG面AGC， 故平面AGC平面BGC （）解：如图，由（）知面AGC面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BHGC，垂足为H，则BH平面AGC， BGH是GB与平面AGC所成的角 在RtCBG中又BG=， （）由（）知，BH面AGC 作BOAC，垂足为O，连结HO，则HOAC，为二面角BACG的平面角 在在RtBOH中， 即二面角BACG的大小为 解法二：（向量法） 解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a ），G（a，a，0），F（a，0，0）（I）证明：， ， AGBG，AGBC，而BG与BC是平面BCG内两相交直线，AG平面BCG，又AG平面ACG，故平面ACG平面BCG （II）由题意可得，设平面AGC的法向量为，由 （III）因是平面AGC的法向量，又AF平面ABCD，平面ABCD的法向量，得，二面角BACG的大小为 点评：本题解法较多，考查空间中二面角，考查学生的空间想象力和推理能力本题给出的第二种解法就是用向量方法，两种方法各有千秋，常规方法思考量大，而向量方法往往运算量大，就熟练选用其中一种方法29.东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本与科技成本的投入次数的关系是=.若水晶产品的销售价格不变,第次投入后的年利润为万元.求出的表达式；问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解析：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n,所以，年利润为（） = (万元) 当且仅当时即 时，利润最高，最高利润为520万元。 评析: 本题以东海水晶为背景,建立函数关系式,利用均值不等式解决问题.30以O为原点, 所在直线为x轴, 建立如图所示的直角坐标系.设, 点F的坐标为, 点G的坐标为.(1) 求关于t的函数的表达式, 判断函数的单调性, 并证明你的判断.(2) 设的面积, 若以O为中心, F为焦点的椭圆经过点G, 求当取得最小值时椭圆的方程.(3) 在(2)的条件下, 若点P的坐标为, C、D是椭圆上的两点, 且,求实数的取值范围.解析: (1 ) 根据题意得, 由 不妨设 .即在上是单调增函数. (2), 又, 在上是单调增函数., 此时, 设椭圆方程为:, 由G点代入得:,解得: 所求方程为:. (3)设, , 由, , 即,评析：第一问证明函数的单调性；第二问椭圆的方程；第三问由y的范围，建构函数关系式，推导出的范围，本题培养学生分析问题、解决问题能力。一、选择题： 1（理）复数（ ） A 0 B 1 C i D 解：由知，选D（文）已知集合，,则集合中的元素数目为（ ） A0 B.1 C.2 D.无穷多解：结合函数与的图象分析，并且注意到当时，且当时，故其图象的交点共两个，所以选C.2（理）设随机变量的分布列如下表所示，其中，成等差数列且0.1，成等比数列，则（ ）01230.1A B C D不确定（文）从名女生，名男生中选出名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（ ）ABCD解：（理）A 由已知得，由此解得，故，选A。（文）A 应从8名女生中选出4人，4名男生中选出2人，有种选法，故选A4用铁丝制作一个形状为直角三角形且围成的面积为1的铁架框，有下列四种长度的铁丝供选择，较经济（即够用且耗材最少）的是（ ）A4.6cm B.8cm C5cm D5.2cm 解：设直角三角形的两直角边长分别为、，则由题意有，其周长为，结合各选项可知，选C6现行中华人民共和国个人所得税法规定的起征点为800元，即公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得税税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%为了适应时代要求，我国拟从2006年1月起将起征点由800元提高到1600元，其他均不变.小王现每月缴纳个人所得税95元，若他每月工资、薪金所得不变，则起征点提高后他每月将少缴纳（ ）元A.87.5 B.80 C.75 D.75.5解：由题意得知，小王现在每月工资、薪金所得是2000元，当起征点提高后他每月将缴纳个人所得税是20元，故选C。8过的重心任作一直线分别交、于点、E。若，则的值是（ ）A4 B3 C2 D1解：取ABC为正三角形易得3，选B10已知双曲线的左准线为, 左、右焦点分别为F1、F2 , 抛物线的准线为，焦点是F2 ,若与的一个交点为P, 则的值等于( )0xyF1PF2第10题图 A 40 B 32 C 8 D 4解：如图,设,点P到直线的距离为,则由抛物线定义得 ,由点P在双曲线上,及双曲线第一定义得 , 又由双曲线第二定义得 , ,解之得 ,故应选B .12有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为A168 B. 84 C. 56 D. 42解：分两类方法：一类是甲运B箱，有种方法；另一类是甲不运B箱，有种方法，故共有种，选D。二、填空题： 本大题共4小题，每小题4分，共16分.13（文科做）有一列数，以后各项,法则如下：如果为自然数且前面未写出过，则写，否则就写,由此推算的值是 . 解：（文科）6. 以题意得, 14（理）已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）为偶函数；（2）函数没有最小值；（3）函数的图象被轴截得的线段长为4请写出符合上述条件的一个函数解析式_。 （文）已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）为偶函数；（2）函数没有最大值；（3）函数的图象被轴截得的线段长为4请写出符合上述条件的一个函数解析式_。 （理）解：； 等 （答案不唯一）（文）解：等。16若，则 .（用数字作答）解: 令得 , 得 , 令 , 得 , . 三、解答题： 本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18在三棱柱中，侧面底面，且.（1） 求证：平面平面；（2） 求异面直线与所成的角.解析解法一 （1）平面平面，平面 在中，为菱形.平面. 又平面平面平面. （2）延长到，使，连为平行四边形. 为异面直线与所成的角. 设平面在菱形,又从而在中， 异面直线与所成的角的大小为. 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系.设则，则， （1），平面.又平面，平面平面.（2）.（11分）异面直线与所成的角为.19经统计，某大医院一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：排队人数0561011151620212525人以上概 率0.10.150.250.250.20.05(1) 每天不超过20