2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先化简集合，求出，即可求出结果.【详解】由题意得，则，.故选:C.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2已知向量与方向相反，则（ ）A2B4C8D16【答案】B【解析】由与关系，求出，即可求出结果.【详解】，又向量与方向相反，且，.故选:B.【点睛】本题考查向量间的关系，以及向量的坐标表示，属于基础题.3若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】取特殊值排除选项，然后再用不等式性质证明其它选项.【详解】取，排除A；取，排除B，C，故选D.或推导选项D正确如下：.故选:D【点睛】本题考查不等式的性质，解题注意特殊方法的应用，属于基础题.4下列命题中正确的是（ ）A，B，C若是真命题，则是假命题D是假命题【答案】C【解析】取特殊值判断A,B选项不正确；根据或且非的命题关系，判断选项C正确；选项D不正确.【详解】，故A错误；当时，故B错误；是真命题，是假命题，是真命题，是假命题，故C正确；选项D显然错误 .故选:C.【点睛】本题考查判断命题的真假，属于基础题.5“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）A167B168C169D170【答案】C【解析】根据题意得出的通项，即可求解.【详解】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，由，得，此数列的项数为169.故选:C.【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式，以及考查计算能力，属于基础题.6已知函数为奇函数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据奇函数的定义，求出的值，即可求出结论.【详解】函数为奇函数，解得，则.故选:B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，考查特殊角的三角函数，属于基础题.7曲线，以及直线所围成封闭图形的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用定积分的几何意义，即可得到结论.【详解】由题意得.故选A.【点睛】本题考查区域面积的计算，根据定积分的几何意义，是解题的关键，属于基础题.8在中，内角，所对的边分别为，已知，若的面积为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解.【详解】由题意得，.又，解得，.故选:B.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题.9已知函数，当时，与的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数、的性质，利用排除法即可得出选项.【详解】由题意得，函数，均为偶函数，故排除A选项；当时，当时，与的图象在上有一个交点，故选：D【点睛】本题主要考查分段函数、对数函数以及函数的奇偶性、单调性，综合性比较强.10已知数列的通项公式为，则数列的前2020项和为（ ）ABCD【答案】C【解析】化简通项公式，即可求解.【详解】，当为偶数时，数列的前2020项和为.故选:C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.11已知函数，现有如下命题：函数的最小正周期为；函数的最大值为；是函数图象的一条对称轴.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】D【解析】作出函数的图像，结合三角函数的性质，逐项分析，即可求解.【详解】由题意得，函数的最小正周期为，故正确；当时，；当，；当时，.作出函数的图象如图所示，可知正确.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的性质，图像是解题的重要辅助手段，属于中档题.12已知函数，若存在，使得，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】求导，确定，的关系，把表示成关于的函数，再利用求导的方法，求出最小值.【详解】，由题意得，方程的两正根分别为，解得，且，则，；令，则；当时，恒成立，在上单调递减，即的最小值为.故选A.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值最值，构造函数是解题的关键，考查等价转化数学思想，是一道综合题.二、填空题13已知实数，满足，则目标函数的最大值是_.【答案】【解析】作出可行域，数形结合即可求解目标函数的最值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，其中，.作直线：，平移直线，当其经过点时，取得最大值，即.故答案为:15【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.14平行四边形中，点是线段的中点，若，则_.【答案】【解析】由向量加法的平行四边形法则、向量的减法、平面向量的基本定理，可得，利用对应系数相等即可求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理、向量加法的平行四边形法则、向量的减法，属于基础题.15设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则（且）的最小值为_.【答案】【解析】取，得出是等比数列，求出，转化为关于的函数，利用求最值的方法即可求解.【详解】当时，数列是首项为2，公比为2的等比数列，当且仅当，即时，等号成立.故答案为:32【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式，考查基本不等式的应用，属于中档题.16若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_.【答案】或【解析】设两曲线的切点坐标，各自求出切线方程，利用两切线重合关系，即可求解.【详解】令，则，.设切点分别，则切线方程为，即；，即，即，或.当时，切线方程为，；当时，切线方程为，.综上所述，或.故答案为: 或【点睛】本题考查函数图像的切线求法，考查导数的几何意义，考查计算能力，属于较难题.三、解答题17已知：，：函数在区间上没有零点.（）若，且命题为真命题，求实数的取值范围；（）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（）实数的取值范围是；（）实数的取值范围是.【解析】（）首先求出命题、为真命题时的取值范围，然后再根据“且”命题的真假判断方法确定、的真假性即可求解.（）由是成立的充分不必要条件，得出两命题中的集合之间的包含关系，从而求出参数的取值范围.【详解】（）当时，：，由函数在区间没有零点，得或，解得或，为真命题，为真命题，为假命题，当为假命题时，实数的取值范围是.（）是成立的充分不必要条件，又恒成立，或，解得，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查命题的真假求参数的取值范围，解题的关键是根据命题的关系推出集合之间的关系，属于基础题.18把正弦函数函数图象沿轴向左平移个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，所得曲线是.点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且.（1）求解析式；（2）求的值.【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出；（2）根据函数性质，求出三点横坐标之间关系，代入函数即可求解.【详解】（1）由题意可得， ，且，. （2）设，则，即则解得，则，.【点睛】此题考查三角函数图像性质，平移变换和伸缩变换，尤其结合图像特征求解参数对数形结合能力要求较高.19已知函数.（）当时，证明：有且只有一个零点；（）求函数的极值.【答案】（）详见解析； （）当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为.【解析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证；（2）求导，对分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解.【详解】（）当时，定义域为，在上单调递增，至多有一个零点.又，则，在上有且只有一个零点.（）由题意得，当时，当时，当时，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，当时，当时，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题.20已知为数列的前项和，.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.【答案】（）； （）.【解析】（1）由前项和与通项关系，即可求出通项公式；（2）根据数列的通项公式特征，可用错位相减法或裂项相消法求前项和.【详解】（）令，得，解得，即；当时，当时，适合上式，.（）方法一：由题意得，两式相减得，整理得，.方法二：由题意得，.【点睛】本题考查已知数列的前和求通项公式，以及用错位相减法或裂项相消法求数列的前项和，考查计算能力，属于中档题.21在中，内角，的对边分别是，已知，点是的中点.（）求的值；（）若，求中线的最大值.【答案】（）； （）.【解析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（）由已知及正弦定理得.又，且，即.（）方法一：在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，.是边上的中线，在和中，由余弦定理得，.由，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，.是边上的中线，两边平方得，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.22已知函数，.（）若，判断函数的单调性；（）若对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）在上单调递增；（）.【解析】（1）求导，判断导函数的正负，即可求解；（2）构造函数，不等式恒成立，转化为求函数的最小值不小于零，对分类讨论，求导，求出函数的单调区间，即可求解.【详解】（）