2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2若复数满足（为虚数单位），则为（ ）ABCD3即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述正确的是（ ）A这天的的中位数是B天中超过天空气质量为“优良”C从月日到日，空气质量越来越好D这天的的平均值为4已知平面向量，若，则（ ）ABCD5某围棋俱乐部有队员人，其中女队员人，现随机选派人参加围棋比赛，则选出的人中有女队员的概率为（ ）ABCD6已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则7函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则等于（ ）ABCD8下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）ABCD9函数的图象大致是（ ）ABCD10正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，则四面体外接球的表面积为（ ）ABCD11有如下命题：函数与的图象恰有三个交点；函数与的图象恰有一个交点；函数与的图象恰有两个交点；函数与的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ）ABCD12若函数的图象关于点对称，分别是的极大值点与极小值点，则（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13在中，若，则_14如图，圆（圆心为）的一条弦的长为，则_15在的展开式中，项的系数为_（结果用数值表示）16定义在正实数上的函数，其中表示不小于的最小整数，如，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）如图，在平面四边形中，设（1）若，求的长度；（2）若，求18（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示（1）求这名考生的平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求（精确到）附：，；，则，；19（12分）如图，三棱柱中，分别为棱，的中点（1）在上确定点，使平面，并说明理由；（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值20（12分）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围21（12分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若存在，使得，求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，使得，求实数的取值范围2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】，2【答案】A【解析】（为虚数单位），解得，则3【答案】C【解析】这天的指数值的中位数是，故A不正确；这天中，空气质量为“优良”的有，共天，故B不正确；从日到日，空气质量越来越好，故C正确；这天的指数值的平均值约为，故D不正确4【答案】B【解析】，解得5【答案】D【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派人参加围棋比赛的方法有种，而选出的人中没有女队员的方法有种，结合古典概型计算公式可得：选出的人中有女队员的概率为6【答案】B【解析】A若，则，相交或平行或异面，故A错；B若，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；C若，则或，故C错；D若，则或或，故D错7【答案】D【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故，由，得8【答案】B【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为， ，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，据此可得，组合体的表面积9【答案】B【解析】代，知函数过原点，故排除D，代入，得，排除C，代入，排除A10【答案】B【解析】根据题意可知四面体的三条侧棱、，底面是等腰，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为，球的半径为，外接球的表面积为11【答案】C【解析】设，则，即函数为减函数，函数是奇函数，函数只有一个零点，即函数与的图象恰有一个交点，故错误，由知当时，；当时，；当时，；当时，故函数与的图象恰有一个交点，故正确，作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有两个交点，故正确，作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有三个交点，故正确12【答案】C【解析】由题意可得，函数图象关于点对称，且，故，即，据此可得，解得，故函数的解析式为，结合题意可知：，是方程的两个实数根，且，故二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】由余弦定理得，解得或（舍去）14【答案】【解析】过点作于，则为的中点，15【答案】【解析】由于，据此结合排列组合的性质可得项的系数为16【答案】【解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以，当时，当，则，所以，所以，当时，当，则，所以，；当时，当，则，所以，所以，；当时，当，则，所以，所以，由此类推：故三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可知，在中，由余弦定理可知，（2）由题意可知，在中，由正弦定理可知，18【答案】（1）分；（2）约635人；（3）【解析】（1）由题意知：，名考生的竞赛平均成绩为分（2）依题意服从正态分布，其中，服从正态分布，而，竞赛成绩超过分（含分）的人数估计为人人（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率而，19【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）取中点，连结，在中，取为中点，连接，则，延长与交于点，则即为所求点，为平行四边形，点，为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面，同理可得，平面，又，据此可得平面平面，故平面（2）作平面，与延长线交于，则，作，则直线与平面所成角即直线与平面所成角，设到平面的距离为，则，直线与平面所成角的正弦值为20【答案】（1）；（2）【解析】（1）点在上运动，点在上运动，设，线段的中点，则有，线段的长为定值，即，化简得，线段的中点的轨迹方程为（2）设，联立，得，化简得，则，若，则，即，所以，即，化简得，由得，因为到直线的距离，所以，又因为，所以，所以到直线的距离的取值范围是21【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析【解析】（1），令，则，解得，令，时，函数取得极小值即最小值，函数在上单调递增（2）由（1）可得：函数在上单调递增要证明：，又，因此，即，