高一数学不等式详解与练北师大

高一数学不等式详解与练http:/www.DearEDU.com(一)不等式的概念作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数1.不等式用符号或联结两个解析式所成的式子，称为不等式不等号或叫做严格不等号，或叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）例如表示“或有一个成立，”因此或都是真的另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“”下面主要讨论严格不等式的性质常如下定义不等式：形如(2-1)的式子，称为关于变数的不等式（符号“”表示不等号“”，“”中的任一个）在(2-1)式中，定义域的交集，叫做不等式(2-1)的定义域在不等式(2-1)的定义域中，能使不等式成立的数值组，叫做不等式(2-1)的解，不等式(2-1)解的全体组成的集合，叫做不等式(2-1)的解集求出不等式解集的过程，叫做解不等式如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)成立，那么不等式(2-1)叫做绝对不等式如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做矛盾不等式如果不等式(2-1)的定义域中一些值组使不等式(2-1)成立，而另一些值组使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做条件不等式在不等式(2-1)中，如果都是代数式，那么就叫它代数不等式；如果中至少有一个为超越式，那么就叫它超越不等式 在代数不等式(2-1)中，如果都是有理式，那么就叫它有理不等式；如果至少有一个为无理式，那么就叫它无理不等式在有理不等式(2-1)中，如果都是整式不等式，那么就叫它整式不等式；如果至少有一个是分式，那么就叫它分式不等式2.不等式组含有未知数的几个不等式所组成的一组不等式(2-2)称为不等式组不等式组(2-2)中，定义域的交集，叫做不等式组(2-2)的定义域不等式组(2-2)中，各个不等式的解集的交，叫做不等式组(2-2)的解集求出不等式组的解集的过程，叫做解不等式组(二)不等式的性质实数的三条运算比较性质：为不等式性质的证明提供了依据不等式有如下10条性质(1)对逆性如，则；反之如，则(2)传递性若则(3)加法单调性若，则(4)乘法单调性若，则；若则(5)相加法则若则(6)相减法则若，则(7)相乘法则若，则(8)相除法则若，则(9)乘方法则，若，整数，则(10)开方法则，若，整数，则注意 性质(1),(3),(4),(9)和(10)是可逆的，因此这些性质可以用于证明不等式，也可用作解不等式其余各条作为解不等式的依据，可以用于证明不等式（当不需可逆推理时）(三)不等式的证明方法1.比较法比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法欲证(或)，可以直接将差式与比较大小；或者时，直接将商式与1比较大小在什么情况下用比较法较好呢？一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结构（或可化成乘积结构，成虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构）时，可考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也可考虑用比较法例 设为不等的实数，求证证明 因为所以例 若，求证证明 考虑用商式因为所以2.综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式常利用不等式的性质或借助于现成的不等式因此，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便例 试证：若，则有证明方法 因为，所以又，所以同理有由相同加法则，三式相加即得结论方法 欲证不等式等价于因为，三式相加，即得结论说明 将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法3.分析法分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件（或充分必要条件），直至归结到已知条件或已知成立的结论为止例 已知，求证(1)证明 欲证不等式(1)，只需证(2)(2)式左边即(3)(2)式右边即(4)比较(3)与(4)式，显然可知要证(2)式成立，只需证(5)当时，(5)式成立；若时，(5)式成立则时即(5)式成立，结论得证应用分析法的基本思路是“要成立，只要成立即可；要成立，只要成立”，一直追溯到已知条件或已知的不等式为止用形式符号表示出来，就是“”如果分析的每一步都是充分必要的，即“”则更好应该强调的是，分析的思想和分析的方法是研究一切问题的一个基本方法无论是数学，自然科学，还是经济学或社会科学，多半是以分析为先导没有中肯的分析，就不会有正确的综合所以在数学教育中培养学生分析问题的能力是有意义的4.数学归纳法数学归纳法是由皮亚诺公理派生出来的一个重要数学方法它对于等式或不等式的证明同样是有效的主要用于与自然数n有关的不等式命题例 求证对于任意的自然数n，有证明 方法 当n=1时，有，不等式成立假设n=k时，不等式为真，那么当n=k+1时，有又末式成立，故原不等式对成立结论得证方法 构造数列记显然所以即得结论说明 这个不等式的左边有明显的特点，不等式右式成平方根的形式5.反证法前面几种方法都是直接证法，而反证法是一种间接证法，其中包括归谬法和穷举法反证法从否定所要证的结论入手，假设结论的否定为真，那么由此所引出的结论与已知条件或已知公理、定理、定义域性质之一相矛盾，或自相矛盾，因而结论的否定不成立，故原结论是真实的当给定不等式不便于用直接法证明时，或其自身是一种否定式命题时，可考虑用反证法例 设，且，求证证明 假如(1)则有因为正弦函数在区间上是增函数，所以(2)(2)式两边均为正数，两边平方，有整理得(3)但是，由(1)式可知，表明(3)式不可能成立因此6.换元法换元法是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，化难为易，化未知为已知，或实现某种转化，达到证明的目的换元法有时称为变换法例 设，试证证明 当时，不等式中的等号成立于是引进参数，作变换：实际上这是平面的一个参数表示形式代入不等式的右端，得到7.放缩法放缩法又称传递法，它是根据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当地放大或缩小，使不等关系变得明朗化，从而证得不等式成立这是不等思维的一个显著特征，其依据是实数集的阿基米德性质放缩法的具体做法要依据原不等式的结构来确定例如，对于和式，采用将某些项代之以较大（或较小）的数，以得到一个较大（或较小）的和；或者用舍去一个或几个正项的办法，以得到较小的和对于分式，则采取缩小（或放大）分母或者放大（或缩小）分子的办法来增值（或减值）总之，放缩法使用的是不等量代换，这与换元法使用等量代换有着明显的区别例 设，求证证明左边说明 用放缩法证明不等式时，以下式子很有用：(1)(2) (3)(4)不等式的证明方法还有构造法、判别式法、排序法、调整法、凸函数法以及微积分法等，这里不再一一列举(四)解不等式1.同解不等式若两个不等式的解集相等，则称这两个不等式为同解不等式对于同解不等式，有以下重要结论：(1)不等式与不等式同解(2)如果对于不等式定义域中的一切值都有意义，则不等式与同解(3)如果对于不等式定义域中的一切值都有，则不等式与同解；如果，则不等式与同解(4)不等式在其定义域中的某个子集上恒有，则原不等式与在这个子集上同解，其中(5)不等式在其定义域中的某个子集上恒有，则不等式在这个子集上与原不等式同解，其中(6)不等式与下面两个不等式组同解：(7) 不等式与下面两个不等式组同解：(8) 不等式与下面两个不等式组同解：(9) 不等式与下面两个不等式组同解：(10) 不等式与不等式组或同解；不等式与不等式组同解2.不等式的解法(1)一元一次不等式任何一元一次不等式都可以经过恒等变形整理成(2-3)的形式不等式(2-3)的解集，视而定若解集为；若，解集为；若，不等式变成为，它不是一元一次不等式此时如果，则无解；如果是绝对不等式，解集为(2)一元一次不等式组解不等式组，首先要分别求出组内每个不等式的解集，然后求它们的交集求交集时，可先在数轴上画出每个不等式的解集，然后根据重合部分找出它们的交集设一元一次不等式组(2-4)中每个不等式都有解，则归纳为下列四种情形之一；假设，则以上四组的解集依次是：空解（无解）(3)一元二次不等式任何一个一元二次不等式都可经过恒等变形整理成(2-5)的形式，两边同除以非实数，即可归纳成下面两种情形之一：第一种情形：如果，不等式的解集为；如果，不等式的解集为；如果，则有两个实根，设，那么不等式的解集为第二种情形：如果，不等式无解；如果，不等式的解集为，其中是的两个根(4)一元二次不等式组一元二次不等式组可经过恒等变形整理成(2-6)的形式其中至少有一个不为这时可分别求出不等式(2-6)和(2-6)的解集然后求出这两个解集的交集，即为原不等式的解(5)一元高次不等式一元高次不等式的标准形式是(2-7)其中当时，不等式(2-7)称为一元高次不等式由高等代数知道，在实数域上多项式f(x)总可以分解成一次因式或既约二次因式的乘积，所以f(x)总可以表成其中是f(x)中所有首项系数为的一次因式的乘积，是所有首项系数为的二次既约因式的乘积由于首项系数为的二次既约因式恒为正值，所以当时，不等式f(x)或同解；当时，不等式与同解的解法有以下两种情形：第一种情形 当中没有重因式时，按以下步骤求解：第一步，将表示成的形式，其中xi是的零点，并有第二步，将的各个零点在数轴上标出，从而将数轴划分为k+1个子区间从最右一个子区间开始，向左在各个子区间上依次相间地标出“”，“”标志第三步，所有“”的子区间（开区间）的并集，就是的解集；所有“”的子区间（开区间）的并集，就是的解集第二种情形 当中有重因式时，可将奇次重因式改为一次单因式，并将偶次重因式弃去，这样就可以按照没有重因式的情形处理但是应将所得解集去掉偶次重因式的零点这种解法叫做“零点分区法”当用此法求解或时，要将开区间改为闭区间；同时，在弃去偶次重因式后，不必去掉偶次重因式的零点(6)一元分式不等式一元分式不等式的一般形式为(2-8)由同解不等式的重要结论(7)可知，解不等式(2-8)只需解不等式(7)无理不等式一元无理不等式的一般形式为(2-9)其中f(x)是x的无理函数解无理不等式的基本方法是：利用同解不等式的重要结论(4)，将所给无理不等式转化为与它同解的有理不等式组解无理不等式常按如下步骤进行：第一步，求出f(x)的定义域第二步，解无理方程f(x)，即求出f(x)的零点或判断f(x)没有零点零点由小到大依次为，将它们在数轴上标出，从而将定义域划分为k+1个子区间第三步，在各个子区间内各任取一值，使得或的所在的区间就是不等式或解的区间在解无理不等式的过程中，经常会因为在不等式的两边实施乘方运算而出现增根，所以必须检查所得解是否超出原不等式的定义域另外，有些不等式的一边允许取负值，忽略这一点可能导致失解(8)绝对值不等式绝对值号内含有未知元（或变元）的不等式称为含绝对值的不等式，简称绝对值不等式解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，使其转化为普通不等式其主要依据是绝对值的定义和同解不等式的重要结论(10).(9)初等超越不等式指数不等式若，则不等式为绝对不等式；不等式无解若，则当时，；当时指数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的幂，然后区分和两种情形，据此比较它们的指数对数不等式对数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的对数，然后区分和两种情形，据此比较它们的真数解题时应注意不等式的定义域三角不等式 含有变元（未知元）的三角函数不等式称为三角不等式解三角不等式一般都要归结到最简单三角不等式，形如的不等式，叫做最简三角不等式解最简三角不等式，可先在所给三角函数的一个周期内求出其特解，然后加上该函数的最小周期的整数倍，即为它的一般解对于可以用初等方法求解的三角不等式，通常使用变量代换、因式分解等方法化繁为简，归结为最简三角不等式。(五)不等式的应用1.用平方法和判别式法求最值这是中学数学最常用的求最值的方法之一做法见本章【典型例题】例18和192.用均值不等式求最值均值不等式，特别是“几何平均值小于等于算术平均值”，是求解最值有效的工具利用它求最值时有以下结论：设是任意n个正数，如果它们的和（记作s）是一个定值，则当时，积取最大值；如果它们的积（记作P）是一个定值，则当时，和取最小值例题见本章【典型例题】例20,21.3.用柯西不等式求最值具体做法见【典型例题】例224.用琴森不等式求最值用琴森不等式求最值有以下结论：设函数f(x)在区间上是下凸（上凸）的函数，对任意，如果是定值，则当时，达到最大（最小）值例题见本章【典型例题】例23(六)著名不等式1.柯西不等式设，则有不等式当且仅当时等号成立设向量，于是柯西不等式即为：向量的数量积不大于向量与的长度之积，即2.赫勒德尔不等式设且，则不等式其中等号当且仅当成立3.明可夫斯基不等式设，则有不等式(1)(2)4.均值不等式设是任意n个正数，它们的算术平均数是它们的几何平均数是它们的调和平均数是则有不等式当且仅当时等号成立即n个任意正数的调和平均数不大于几何平均数几何平均数不大于算术平均值5.琴森不等式设，则有不等式6.三角不等式设，则有当且仅当时等号成立三角不等式的向量形式：设定义则有其中等号当且仅当Y与Z或X之一重合时成立(七)凸函数1.凸函数设函数f(x)在某区间上定义，对于区间上的任意两点都有其中，则称函数f(x)在该区间上是下（上）凸函数2.凸函数的判别法(1)在某区间上若函数f(x)满足对任意都有则函数f(x)是下（上）凸函数；(2)设函数f(x)在某区间上有二阶导数，若则函数f(x)在该区间上是下（上）凸函数；(3)设函数f(x)在某区间内可导，则函数f(x)在该区间上是下（上）凸函数充分必要条件是在该区间内递增（递减）；(4)设函数f(x)在某区间上可导，区间上的任意都有则函数f(x)在该区间是下（上）凸的函数；(5)设函数f(x)在某区间上定义，若区间内每一点处曲线f(x)的切线都在该曲线的下方（上方），则函数f(x)在该区间上是下（上）凸函数3.相应不等式琴森不等式设函数f(x)在区间是下（上）凸函数，则对任意有不等式推广形式若，则有(八)在初等不等式的教学中应注意的问题1.在初等代数中，与方程相应的内容是不等式，占有不小的篇幅由于不等式就其概念、解法、解集与方程有许多相似之处，