第二章指数函数教材分析人教

第二章 指数函数教材分析http:/www.DearEDU.com1本节知识结构本节内容包括指数函数的概念，指数函数的图像和性质，与前后内容的联系如下所示：指数函数的概念指数函数图像指数函数的性质指数函数的应用指数函数根式分数指数幂分数指数幂的运算性质指数的运算 对数 1 目的要求借助计算机或者图形计算器掌握指数函数的概念、图像和性质3教学任务分析（1）本小节的重点是指数函数的图像和性质（2）本小节是在把指数范围扩充到实数的基础上引入指数函数的因此在学习指数函数之前，应先扼要地复习一下关于零指数、负指数、分数指数幂的意义及其运算无理数指数幂的意义要用极限才能解释清楚，中学教材从略（3）教材从一个关于细胞分裂的比较浅显的具体问题引入指数函数的概念，既说明指数函数的概念来自实践，也便于学生接受（4）在教学指数函数的定义时，不要把“规定a0，且a1”强加给学生，可以在约定自变量x取一切实数的前提下，让学生用计算器计算一些（任意选取）幂的值，如3、（3）、（3）等等，学生会发现，有的有结果，而当底数为负数，指数为小数时，计算器都显示出错信息如不是先约定让指数可以取一切实数，而是反过来，先让底数取某个负数，比如底数a3，那么（3）中的指数x取值的范围就不连续，有的实数可取，有的不可取总之，使学生自觉产生对底数应该规定范围的要求，再引入“规定a0，且a1”就比较自然，比较合理让学生弄清知识发生的过程，成为一个“研究者” 小结规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果 a0， 如果a0，在实数范围内函数值不存在 如果a1，y11，是一个常量，对它就没有研究的必要对于为什么要规定a0，且a1？还可以有一次反复的机会就是在画指数函数的图像时，让学生操作并发现a1时没有研究的必要，而a0时计算器（或计算机）画不出函数的图像，然后再次体会为什么规定a0，且a1经过上面的讨论，指数函数的定义域是一切实数也显得比较自然（5）在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像和性质，是本教材的重点关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响对于a1与0a1时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点函数图像是研究函数性质的直观工具，利用图像便于学生记忆函数的性质和变化规律因为利用计算器或者计算机作出函数的图像变得非常容易，注意到应该加深学生对函数概念的理解，教材保留了列表描点的做法教学时，可以让学生先填写课本中的表格，体验指数函数的自变量与它的函数值之间的对应关系进一步利用计算机画出表格中的这些点，引导学生注意这些孤立的点并不是指数函数的图像，提示函数的图像应该是连续的曲线教师也可以利用教学软件的动态演示把这些点连接起来，形成指数函数的图像，比如用几何画板软件接受Excel表格数据的特点，利用Excel列出表格，在几何画板中描出这些点，利用追踪动点轨迹的功能，把这些点连接成平滑的曲线在使用中，还可以让学生把函数值y用根式表示，会发现在“y”这一列，后面一格就是前面一格中的数字乘以；关于y1互为倒数对称以培养学生的观察能力，体验指数函数的性质为突出重点、突破难点，把画指数函数图形以及对指数函数图像特征的研究设计成“研究性学习”，即通过学生使用图形计算器研究指数函数的图像发现指数函数的分类以及指数函数图像的分布规律 具体设计见后面的“研究性学习案例” （7）指数函数ya（a0，a1）的单调性是可以证明的 证明：当 a 1时，函数ya是增函数 设x1，x2R，且x1x2 如果x2x1h（h0，且hR），则有 aaaa a aa aa（a1）， a1，h0， ah1又 a 0， a（a1） 0，即aa从而由 x1x2推出aa；即当a1时，函数ya为增函数 仿此，当0a1时，可证得函数ya为减函数（8）例1“比较两个数的大小”是为了巩固指数函数的性质而设立的3道小题采用了三种不同的呈现方式第（1）小题，要求先用计算器（或计算机）画出指数函数y17的图像，比较17与17的大小，然后根据指数函数的性质加以解释目的在于使学生通过动手操作，逐渐熟悉指数函数的图像使学生在操作中注意到图像上点的坐标的意义，找出自变量分别是25、3时所对应的点的位置，通过比较这两点的纵坐标的大小比较两个函数值17与17的大小（图1）为了防止出现学生以图形代替严密推理的不良习惯，又要求对所得到的结论进行理性的思考，即用指数函数的单调性加以说明，所以要求“根据指数函数的性质加以解释”第（2）小题，要求先用计算器计算08与08的值（保留4位小数），比较它们的大小，再根据指数函数的性质加以解释 图1 目的是利用计算器的强大的计算功能，分别计算08与08的值来比较大小，同时也让学生明确当指数是负数时，可以有几种方法来计算它们的值，比如计算与的值，或者计算08与08的值，比较大小这样，在说明理由时，还可以通过指数函数y08x的单调性以及函数y在（0，）上的单调性来说明08与08的大小关系第（3）小题，仍然要求先用计算器计算17与09的值（保留4位小数），比较它们的大小，再利用指数函数的性质解释教学中，在用计算器计算之前，也可以先让学生估计一下它们的范围，这样不必使用任何手段就能知道它们的大小，培养“数感”，熟悉指数函数的性质如果这样处理，在利用指数函数的性质解释时就比较容易，难点被分散 对于例1的教学，建议以学生讨论为主（9）例2是有关图像平移的题目，初中学习二次函数图像时遇到过按横向或纵向平行移动函数图像的问题，这类题目属于图像初等变换中最基本的教材要求用图形计算器或计算机画出指数函数y2的图像，再在同一个坐标系中画出y2，y2的图像，通过观察它们的关系得到结论由于用计算器或者计算机画函数图像非常方便，因此可以多画几个指数函数的图像，增加考察对象的个数，反复比较，加深理解也可以不先画出图像，先猜一猜、想一想它们的关系，甚至进行理性反思，然后再作出函数图像加以验证，培养学生的抽象思维能力如果学生基础比较好，接受能力比较强，能得到一般性的结论更好也可以不必区分第（1）小题与第（2）小题，问题成为研究函数ya与函数yax的关系采用何种方式视学生的具体情况以及采用何种教学形式而确定最后不论是学生归纳还是教师引导学生归纳，教师都要强调注意不要把方向移错当函数f（x）的图像移动为函数f（xa）的图像时，如果a0，是将f（x）的图像向左平行移动a个单位得到函数f（xa）的图像；如果 a0，是将f（x）的图像向右平行移动a个单位得到f（xa）的图像教学中，如图2，可以利用几何画板软件，动态改变m的值，演示函数ya的图像与函数ya的图像的关系（制作方法见“信息技术学习材料”） 如图，拖动点M，改变参数m的值，观察函数y2的图像与函数y2的关系图2 （10）例（3）是涉及指数应用的一个问题在使用计算器以后，这个问题就变得不困难教师可以首先解释一下课本中提供的复利的概念：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息“我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算的储蓄”使学生体验数学在生活中的应用，增强学生学习数学的积极性用计算器算一算：第几期以后本利和超过原来本金的15倍；要使10期后本利和翻1番，利率应该是多少?（精确到0001） 这是一个貌似解指数方程的问题，利用