D8_3 多变量函数的微分和偏导数

.,第八章第三节,机动目录上页下页返回结束,二、多变量函数的偏导数,三、高阶偏导数,多变量函数的微分和偏导数,第八章,一、多变量函数的微分,.,一、多变量函数的微分,.,是,的线性主部。,定理8.3.1如果f(x,y)在M0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在M0(x0,y0)处连续。,.,定义8.3.1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动目录上页下页返回结束,注意:,二、多变量函数的偏导数,.,同样可定义对y的偏导数,若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,机动目录上页下页返回结束,或y偏导数存在,.,例1.求,解法1:,解法2:,在点(1,2)处的偏导数.,机动目录上页下页返回结束,.,例2.设,证:,例3.求,的偏导数.,解:,求证,机动目录上页下页返回结束,.,偏导数记号是一个,例4.已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,机动目录上页下页返回结束,整体记号,.,若在(x,y)处可微，则,偏导数也叫偏微商，这种叫法源于其本质上是一个一元函数微商，但对于二元函数而言不具有商的性质，只是一种记号。,.,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,机动目录上页下页返回结束,对y轴的,.,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例目录上页下页返回结束,在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!,.,二元函数可微则偏导数存在。但偏导数存在，函数不一定可微。,定理8.3.2如果z=f(x,y)的两个偏导数在M0(x0,y0)处都是连续的，则f(x,y)在M0(x0,y0)处可微。,.,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的,可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,机动目录上页下页返回结束,偏导数定义为,(请自己写出),可微的定义为,.,.,三、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,机动目录上页下页返回结束,数:,.,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,机动目录上页下页返回结束,偏导数为,.,例6.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动目录上页下页返回结束,的二阶偏导数及,.,例如,二者不等,机动目录上页下页返回结束,.,例7.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,机动目录上页下页返回结束,.,则,证明目录上页下页返回结束,证:令,则,令,定理.8.3.3.,.,同样,.,在点,连续,得,.,例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,.,把区域D中有n阶连续偏导数的函数全体记作,把区间I中有n阶连续导数的一元函数全体记作,.,作业,第三节目录上页下页返回结束,P66681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。,.,第四节,一元复合函数,求导法则,微分法则,机动目录上页下页返回结束,复合函数的微分法,第八章,.,本节内容:,一、复合函数求导的链式法则,二*、Jacobi矩阵,三、方向导数和梯度,四、全微分的不变性,五、例题,.,一、复合函数求导的链式法则,写成矩阵形式：,.,一般地，设可微，而,.,例1.设,解:,机动目录上页下页返回结束,.,例2.,解:,机动目录上页下页返回结束,.,例3.证明函数u=1/r满足方程,其中。,Laplace方程，调和函数,.,若函数,处偏导连续,在点t可导,则复合函数,证:设t取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,机动目录上页下页返回结束,有增量u,v,.,(全导数公式),(t0时,根式前加“”号),机动目录上页下页返回结束,.,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动目录上页下页返回结束,则定理结论不一定成立.,.,中间变量多于两个的情形.例如,机动目录上页下页返回结束,.,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定y对x求导,表示固定v对x求导,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,与,不同,机动目录上页下页返回结束,.,例4.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,机