福建永春一中、培元中学、季延中学、石光中学高三数学第一次联合考试理

福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学2017届高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，本题选择D选项.2. 设i为虚数单位，为纯虚数，则实数a的值为（ ）A. -1 B. 1 C. -2 D. 2【答案】A3. 设是等差数列的前n项和，则（ ）A. 2 B. 3 C. 5 D. 7【答案】C【解析】，.本题选择C选项.4. 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）A. 400 B. 500 C. 600 D. 800【答案】A【解析】，.故选A.5. 设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线的右焦点F(c,0),到渐近线,即bxay=0的距离，点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1:6，即c=3b，则，即，则，则双曲线的渐近线方程为，即，本题选择B选项.点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7. 函数的大致图象如图，则函数的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象可知0a1且0f(0)1，即，解得，0a1由对数函数的单调性可知ab1，结合可得a，b满足的关系为0ab0时,f(x)0,f(x)递增，且，则为偶函数,即有，则不等式,即为，即为，则,即,解得，即解集为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 在ABC中，角的对边分别为，且成等比数列，.（）求的值；（）若，求的值.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：()由题意结合正弦定理可得 ，切化弦可得；() 由结合平面向量数量积的定义可得，结合余弦定理得，据此可得.试题解析：（）因为成等比数列，所以 由正弦定理可得 所以 （）由得知 由得 所以 由余弦定理得得 即 解得18. 如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD=2，AB=4，ADF=90（）求证：ACFB（）求二面角EFBC的大小【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：()由题意结合线面垂直的判定定理可证得AC平面FCB，据此有ACFB()建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角EFBC的大小为.试题解析：（）证明：由题意得，ADDC，ADDF，且DCDF=D，AD平面CDEF，ADFC，四边形CDEF为正方形DCFC由DCAD=D FC平面ABCD，FCAC又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD=2，AB=4，则有AC2+BC2=AB2ACBC由BCFC=C，AC平面FCB，ACFB（）解：由（I）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（）知平面FCB的法向量为，设平面EFB的法向量为则有即令则设二面角EFBC的大小为，有图易知为锐角所以二面角EFBC的大小为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角19. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150() 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？() 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。附：，。【答案】（）186元；（）（1）；（2）分布列见解析，期望为600.【解析】试题分析：()由题意可求得回归方程为，据此预测售出8箱水时，预计收益为186元；() (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是；(2) 由题意可得X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为600. 试题解析：，当时，即某天售出8箱水的预计收益是186元。 () 设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，即的分布列为： （元）20. 已知点，其中是曲线上的两点，两点在轴上的射影分别为点，且. （I）当点的坐标为时，求直线的斜率；（II）记的面积为，梯形的面积为，求证：.【答案】（）；（）见解析.【解析】试题分析：()由题意结合直线的斜率公式可得 ；()设直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，可得 ， ，则 .据此即可证得题中的结论试题解析：（）因为，所以代入，得到 又，所以，所以 代入，得到 所以 （）法一：设直线的方程为.则由, 得,所以所以,又，所以，所以，因为，所以,所以.法二：设直线的方程为.由, 得,所以,点到直线的距离为, 所以 所以 又，所以因为，所以所以 21. 已知函数（）当时，求的极值；（）当时，讨论的单调性；（）若对于任意的都有，求实数的取值范围【答案】（）当时，取得极小值为，无极大值；（）当时，在和上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数，当时，在和上是减函数，在上是增函数；（）【解析】试题分析：() 当时，定义域为，据此可得当时，取得极小值为，无极大值() 当时，函数的定义域为，且分类讨论有：（1）当时，在和上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是减函数；（3）当时，在和上是减函数，在上是增函数() 由（）知，当时，在上是减函数原问题等价于对任意恒成立，分离参数有对任意恒成立据此可得实数的取值范围为试题解析：（）当时，定义域为，的导函数当时，在上是减函数；当时，在上是增函数当时，取得极小值为，无极大值（）当时，的定义域为，的导函数为由得，（1）当时，在和上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是减函数；（3）当时，在和上是减函数，在上是增函数（）由（）知，当时，在上是减函数对于任意的都有，对任意恒成立，对任意恒成立当时，实数的取值范围为请考生在第（22）（23）（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点（I）证明：A，P，O，M四点共圆；（II）求OAMAPM的大小【答案】（）见解析；（）90.【解析】试题分析：（1）证明四点共圆，一般利用对角互补进行证明：根据相切及垂径定理得OPAP及OMBC，从而得OPAOMA180. （2）根据四点共圆得同弦所对角相等：OAMOPM，因此OPMAPM90，试题解析：（1）证明 连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆.（2）解 由（1）得A、P、O、M四点共圆，所以OAMOPM，由（1）得OPAP，因为圆心O在PAC的内部，所以OPMAPM90，所以OAMAPM90.考点：四点共圆23. 选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，曲线.直线经过点，且倾斜角为.以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（I）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（II）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.【答案】（）（t为参数）；（）或或.【解析】试题分析：（1）利用，即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程，以及得到直线的参数方程；（2）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入圆中，得到的方程，即可得到，即可求解实数的值试题解析：（1）曲线的普通方程为：，即，即，即曲线的极坐标方程为直线的参数方程为（为参数）（2）设，两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入中，得，所以由题意得，得，或考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化；参数方程的应用24. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（I