湖南衡阳高三联考数学理

书书书 ?高三数学试卷?参考答案?第? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 高三数学试卷参考答案? 理科? ? ? ? ?因为? 所以? ? 则? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为同时垂直于一个平面的两条直线互相平行? 故?正确? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 且 ? 为增函数? 所以? 的零点所在的区间为? ? ? ? ? ? ? ?因为等比数列? ? ? ? 的前?项和为? 所以? ? ? ?成等比数列? 因为? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? 故 ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ? ? 又依题意知? 的值域为? ? 所以? 所以? ? ? ? ?令? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? 则? 的图象的对称中心为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由题意可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ?对?恒成立? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 槡? ? 所以? 槡? ? ? ? ?由 ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? 设 ? ? ? 则? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由题意? 多面体? ? ? ? ?的外接球即正四面体? ? ? ? 的外接球? 且其外接球的直径为? ? 易求正四面 体? ? ? ?的高为槡 ? ? ? 外接球的半径为槡 ? ? ? 设正三棱锥? ? ?的高为? 因为? ?槡 ? ? 槡 ? ? ? 所以 ?槡 ? ? ?因为底面? ? ?的边长为? 所以? ? ? ?槡 ? ? ? 则正三棱锥? ? ?的三条侧棱两两垂 直? 易求正三棱锥? ? ?的表面积? 槡? ? ? ? ? ? 体积? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ?槡 ? ? ?槡 ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? 设正 三棱锥? ? ?的内切球的半径为? ? 由 ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? 得 ? 槡槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令? ? ? ? ? ? 是定义在? ? ? ? ? 上的奇函数? ? ? ? ? ? ?是定义在? ? ? ? ? ? 上的偶函数? 当? ? ? 时? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? 在? ? ? 上单调递减? ?高三数学试卷?参考答案?第? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将? 槡? ? ? ? ? ? ? ?化为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? 则 ? ? ? ? 又? ? ? ? ?是定义在? ? ? ? ? ? 上的偶函数? ? 在? ? ? 上单调递增? 且? ? ? ? ? ? 当? ? ? 时? ? ? ? ? 将 ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?化为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? 综上? 所求不等式的解集为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当? ? ?时? 等号成立? 所以?正确? 若? ? ?是等差数列? 的前?项? 则? ? ? ? ? ? 所以?不正确? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以?不正确? 作出不等式组 ? ? ? ? ? 表示的可行域? 图略? ? 由图可知? 当直线? ?经过点? 时?取得最小值? ? 故 ? ?所 以?也正确?故所有正确结论的编号是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?依题意可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 得? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ?取? ?的中点? 如图? 连接?依题意可得? ? 因为? ?平面? ? ? ? 所以? ? ? 从而?平面? ? ? ? 所以? ?与平面? ? ?所成角为? ? ? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? 则 ?为? ?的中点? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?图? ?图? 在? ? ? ? ? ?中? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 因为 ? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 将 ? ? ?翻折至与平面? ? ?共面? 如图? ? 则图中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 槡? ? ? ? ? ?高三数学试卷?参考答案?第? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 当 ?为? ?与? ?的交点时? ? ?取得最小值? 此时? ? ? ? ? ?槡 ? ? 槡 ? ? ? ? 槡槡? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 解? 令? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? 所以?的坐标为? ?分 因为 ? ? ? ? ? ? ?分 所以 ? ? ? ? ?分 故曲线? 在点?处的切线方程为? ?分 ? ? 证明? 设函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 令 ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? 令 ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ?分 所以? ? ? ? ?分 从而? ? ? 即 ? ?分 ? ? ? 证明? 因为? ? ? ?两两垂直? 所以? ? ? ? ?分 因为? ? ? ?分 所以? ?平面? ? ? ? ?分 因为? ?平面? ? ? 所以? ? ? ?分 ? ? 解? 该四棱锥的侧视图如图所示? ?分 依题意可得四边形? ? ? ?为正方形? ?分 易证? ?平面? ? ? ?平面? ? ? 所以? ? ? ? ? 所以? ? ?与? ? ?的面积均为? ? 槡槡? ? ? ? ? ? ?分 四棱锥? ? ? ?的表面积为 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ?解? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 结合正弦定理可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为? ? ? 所以? ? ? ? 所以? ? ? ? ?分 又? ? ? 所以? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?分 ?高三数学试卷?参考答案?第? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ?的取值范围是 ?槡 ? ? ?槡? ? ?分 ? ? ? 证明? 连接? ? 并延长? ?与? ?相交于点? 连接? ? 因为点?为? ? ?的重心? 所以? ? ? ? ?分 在? ? ?中? 有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ?分 而? ?平面? ? ? ?平面? ? ? 所以? ?平面? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解? 过点?在? ? ?中作? ? ? ? 与 ? ?相交于点? 因为? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ?为二面角? ?的平面角? 则? ? ? ? ? ? ? ?分 以点?为坐标原点? ?所在直线为?轴? ?所在直线为?轴? 建立如图所示的 空间直角坐标系? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 则?槡 ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? 记平面? ? ?的法向量为? ? ? 则 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? 得到平面? ? ?的一个法向量?槡 ? ?分 设平面? ? ?的一个法向量为? ? ? 则 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? 槡? ? 得到平面? ? ?的一个法向量?槡? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡槡? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ?分 设二面角? ?的平面角为? ? 则? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? 槡 ?槡 ? ? ? ? ? ? 即二面角? ?的正弦值为 槡 ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 证明? 当? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 也满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ?高三数学试卷?参考答案?第? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数列? ? ? ? 为公差是?的等差数列? ?分 ? ? 解? ? ? ? ? ? ? ?分 设数列? ? ? ? ? ? 的前?项和为? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 故? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 解? ? ? ?的定义域为? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 当? ?时? ? ? 在? 上单调递减? ?分 当? ?时? 令? ? ? ? 得 ? ? ? 则 ? 单调递减?分 令? ? ? ? 得? ? ? ? ? 则 ? 单调递增?分 综上? 当? ?时? 在? 上单调递减? 当? ?时? 在? ? ? 上单调递增? 在? ? ? ? 上单调 递减? ?分 ? ? 证明? 不妨设? ? ? ? 由 ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?