数学分析-偏导数

偏导数在几何应用,一平面曲线的切线与法线,二.空间曲线的切线与法平面,三曲面的切平面与法线,四小结,问题的提出,我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量,切线方程为,法线方程为,的某邻域内满足隐函数定理条件，则,一.平面曲线的切线与法线,求曲线上过点的切线方程，这里,设曲线用参数方程表示为,二.空间曲线的切线与法平面,由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点的割线方程,在上式各端的分母都除以,由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，就得到曲线在点的切线方程：,由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是,曲线在点的法平面就是过点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是,如果曲线的方程表示为,可以把它写成如下的以为参数的参数方程,于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：,一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：,设，设上述方程组在点确定了一对函数,由这两个方程可解出,这时容易把它化成刚才讨论过的情形：,从而可得曲线在点的切线方程：,和法平面方程,解：,在（1，1，1）点对应参数为t=1,切线方程：,例1求曲线在点处的切线及法平面方程。,例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。,法平面方程：x-z=0,切线方程：,解,在方程组,中分别对求导数，得,于是,从而在点有：,所以切线方程为：,即,此直线可看作是平面与平面的交线。,三曲面的切平面与法线,设曲面方程为,过曲面上点任作一条在曲面上的曲线，设其方程为,显然有,在上式两端对求导，得,曲线在M处的切向量,上式说明向量与切线向量正交。,从而曲面在点的切平面方程为,由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。,在点（设点对应于参数）有,过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为,该法线的一组方向数为：,综上所述若曲面方程为,则该曲面在点的切平面方程为,过点的法线方程为,设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为,若曲面方程为,容易把它化成刚才讨论过的情形：,于是曲面在（这里）点的切平面方程为,法线方程为,若曲面方程为参数形式：,如果由方程组可以确定两个函数：,于是可以将看成的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。,代入方程，得,因此需分别计算对的偏导数。,将分别对求导，注意到为的函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,法线方程,于是曲面在点的切平面方程为,例4求球面在点的切平面及法线方程,解,设,则,所以在点处球面的切平面方程为,法线方程,曲面的夹角,两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。,如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。,例5证明对任意常数，球面与锥面是正交的。,即,证明,球面的法线方向数为,锥面的法线方向数为,在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积,因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。,解,令,切平面方程,法线方程,解,设为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面