极限习题及答案：数学归纳法

数列通项及用归纳法证明不等式例一、 在1与2间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列；又在1、2间插入n个正数，使这n+2个数成等差数列记求：（1）数列和的通项； （2）当时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论分析：考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法解：（1）成等比数列， 成等差数列，所以数列的通项，数列的通项（2）要比较与的大小，只需比较的大小，也就是比较当时，与的大小当n=7时，知经验证，n=8,n=9时，均有成立，猜想，当时有下面用数学归纳法证明：（）n=7时已证（）假设时不等式成立，即，好么故即时不等式也成立根据（）和（）当时，成立，即说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例一、 设数列满足（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（2）当时，证明对所有的，有（） （）分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力解：（1）由得由得由，得由此猜想的一个通项公式：（2）（）用数学归纳法证明：当，不等式成立假设当n=k时不等式成立，即，那么，也就是说，当时，根据和，对于所有，有（）由及（），对，有于是 说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题数列与归纳法的综合题例一、 设为常数，且（）证明对任意 （）假设对任意有，求的取值范围分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力证明：（）证法一：（1）当时，由已知，等式成立（）假设当等式成立，即那么也就是说，当时，等式也成立根据（）和（）可知证法二：如果设用代入，可解出所以是公比的2，首项为的等比数列即（）解法一：由通项公式 （）当时，式即为即为 式对都成立，有（）当时，即为 式对都成立，有综上，式对任意成立，有故的取值范围为解法二：如果成立，特别取有因此 下面证明当时，对任意，有由通项公式，时（2）当时，故的取值范围为判断证明过程的正误例 试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：证明：（1）当时，左边1，右边1当时命题成立（2）假设当时命题成立，即则当时，需证由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为的等差数列的前项和，其和为式成立，即时，命题成立根据（1）（2）可知，对一切，命题成立 分析：看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的解： 以上用数学归纳法证明的过程是错误的在证明当时等式成立时，没有用到当时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求第二步正确的证明方法是：假设当时命题成立，即则当时，即当时，命题成立 说明：用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的用数学归纳法证明等式例 用数学归纳法证明 分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当时，等式两边的式子与时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决证明：（1）当时，左边，右边，赞美式成立（2）假设当时，等式成立，即则当时，即当时，等式成立根据（1）、（2）可知，对一切，等式成立 说明：解题过程中容易将时，等式右边错写为，从而导致证明错误或无法进行特别要注意等式右边的每一个式子都在随的变化而变化利用数学归纳法证明正切等式例 用数学归纳法证明 分析：在由假设时等式成立，推导当时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：，问题就会迎刃而解证明：（1）当时，左边右边，等式成立（2）假设当时，等式成立，即则当时，由得代入式，得右边即这就是说，当时等式成立根据（1）、（2）可知，对任意，等式成立 说明：灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键如果应用公式来变形，本题就会出现困难解决有关的式子时，经常要用到展开式及其变形公式利用归纳法证明整除问题例 用数学归纳法证明：能被9整除 分析：证明一个与有关的式子能被一个数（或一个代数式）整除，主要是找到与的关系，设法找到式子，使得，就可证昨命题成立证明：（1）当时，能被9整除，命题成立（2）假设当时，能被9整除，当时，和都能被9整除都能被9整除即能被9整除即当时，命题成立由（1）、（2）可知，对任何命题都成立说明：如果将时，变为能被9整除，困难就大一些本题也可用二项式定理把写成展开后，再证明用归纳法证明直线分割平面问题例 平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明这条直线把平面分成个部分 分析：用数学归纳法证明几何问题，主要搞清楚当时比当时，分点增加了多少个，区城增加了多少块，线段增加了多少条本问题中第条直线与前条直线有个分点，平面区域增加了块证明：（1）当时，平面被分成2部分又，命题成立（2）假设当时命题成立即符合条件的条直线把平面分成个部分现在来考虑平面内有条直线的情况任取其中的一条直线，记为（如下图）图与其它条直线有个交点，平面区域增加了块，从而这条直线把平面分成了根据（1）、（2）可知，命题对任何正整数都成立说明：不能错误地认为第条直线被其它条直线分成段，区域增加了部分或2部分证明有关几何问题，哪边形内角和公式，边形对角线条数公式，还要确定初始值应为多少由到时又是如何变化的猜想并证明数列的通项例 对于数列，若（1）求，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想 分析：由已知条件，可直接求出 式，通过观察归纳，猜想出的表达式，再用数学归纳法加以证明解：（1）同理可得猜想（2）（）当时，右边，等式成立（）假设当时，等式成立，即，则当时，