高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算 复数及其运算的几何意义妙用素材 苏教版选修1-2（通用）_第1页
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复数及其运算的几何意义妙用在解决复数问题时，如果能充分利用复数及其运算的几何意义，画出复数问题对应的图形，将抽象的复数问题与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，常使问题变得直观、简捷、易解，它可以培养思维的灵活性、形象性和深刻性一、利用复数的加减法的几何意义例1、已知，求分析：根据复数加减法的几何意义作出相应的图形解：如图，在坐标系中以原点O为起点作出、对应的向量，以为邻边作平行四边形，则向量对应复数，向量对应复数由题意，可得，则，所以为正三角形，即点评：复数的加减运算的几何意义为向量加减法的平行四边形法则与三角形法则，是几何法解决复数问题的常见入口二、利用复数模的几何意义例2、已知、是非零复数，且，求证：是纯虚数分析：先由变形出现目标，得，再考虑的几何意义证明：由两边同时除以得，设，则，几何意义是复数所对应的点Z到两定点A(1，0)，B(1，0)的距离相等，则动点Z的图形就是线段AB的垂直平分线，即y轴(原点除外)于是有，即是纯虚数点评：解决本题有两个关键，一是由条件转化出现目标，二是运用的几何意义例3、已知，且，求的最小值分析： 、的几何意义都表示复数所对应的点Z到定点的距离解：复数对应的点到定点的距离为1，满足圆的定义，表示对应的点到点的距离，故当时，有最小值3.点评：有关复数模的最值问题常用方法有：建立关于复数的模的函数，再求函数的最值；几何法优先考虑几何法三、利用复数的向量表示和模的几何意义例4、设复数满足，且，求复数分析：复平面内，满足的复数对应的点到（1，0）和（0，1）的距离相等；满足的复数对应的点到和的距离之差等于2.解：设， 复数对应的点在以（1，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线上，, 复数对应的点以和为焦点，2为实轴长的双曲线的左支上 ，.由得 所求复数 点评：根据复数的向量表示和模的几何意义，可得复平面内以下几种常见轨迹：若，则复数对应的点在以复数、对应的点为端点的线段的中垂线上；若，则复数对应的点在以复数对应的点为圆心为半径的圆上；若，则复数对应的点在以复数、对应的点为焦点长轴长为的椭圆上；若，则复数对应的点在以复数、对应的点为焦点实轴长为的双曲线上通过以上几例可以看到，运用几何方法解决复数问题常从以下几点切入，复数的几何意义；复数加减法的几何意义；复数的模的几何意义；复数所对应的点的轨迹数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是我们学习数学知识、学习数学解题的高层目标，数形结合是复数这一
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