湖南省2020年高考数学考前演练试卷 文（含解析）

2020年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知i为虚部单位，若（1i）z=2i，则z的虚部为（）A1BiC1Di2已知全集U=R，集合A=x|（x1）（x+3）0，集合B=x|（）x9，则（UA）B=（）A（2，1）B（3，+）C（，3）（2，+）D（1，+）3在四边形ABCD中， =（2，3），=（6，4），则该四边形的面积为（）A2B13CD264执行如图所示的程序，则输出的结果为（）ABCD5从某校随机选取5名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示：身高x/cm165168170172175体重y/kg4951556169根据上表可得回归直线=2xa则预测身高为180cm的学生的体重为（）A73kgB75kgC77kgD79kg6已知向量=（an，1），=（an+1，2），且a1=1若数列an的前n项的和为Sn，且，则Sn=（）A2n1B12nC2（）n1D（）n27已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）A3B2CD8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）ABCD9能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）Af（x）=2x+Bf（x）=tanCf（x）=x3+xDf（x）=ln10已知函数f（x）=（m2m1）是幂函数，对任意的x1、x2（0，+），且x1x2，满足0，若a、bR，且a+b0，ab0，则f（a）+f（b）的值（）A恒小于0B恒大于0C等于0D无法判断11将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x）+g（x）的叙述正确的是（）A函数的最大值为2，最小值为2Bx=是函数的一条对称轴C函数的增区间为k，k+，kZD将y=g（x）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象12已知直线l与双曲线=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的距离为2，则直线l的斜率为（）A1B2CD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知x0，使sinx的概率为_14已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_15已知数列an的首项为3，bn为等差数列，且bn=an+1an（nN*），若b3=2，b10=12则a10=_16设过曲线f（x）=ex+x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=2cosxax上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1（）求角B的大小；（）若b=2，求y=a+c的取值范围18某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数据（人数）赞同反对合计企业职工102030事业职工20525合计302555（1）是否有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关？（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这6人作为一个样本，从中任选2人，求恰有1名为企业职工和1名事业职工的概率P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：K2=19如图：四边形ABCD为等腰梯形，且ADBC，E为BC中点，AB=AD=BE现沿DE将CDE折起成四棱锥CABED，点O为ED的中点（1）在棱AC上是否存在一点M，使得OM平面CBE？并证明你的结论；（2）若AB=2，求四棱锥CABED的体积的最大值20已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2（1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C在抛物线上运动时|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由记|AM|=m，|AN|=n求+的最大值，并求出此时圆C的方程21设函数f（x）=alnxbx2，a，bR（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=相切；求实数a，b的值；求函数f（x）在，e上的最大值；当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的a0，x（1，e2都成立，求实数m的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2，CF=2，求AE的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（为参数）（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：（cossin）=6距离的最大值【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x1|+|x2|（）求不等式f（x）4的解集；（）使f（x）m恒成立的实数m的最大值为t，若a、b均为正实数，且满足a+b=2t求a2+b2的最小值2020年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知i为虚部单位，若（1i）z=2i，则z的虚部为（）A1BiC1Di【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由（1i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求【解答】解：由（1i）z=2i，得=则z的虚部为：1故选：C2已知全集U=R，集合A=x|（x1）（x+3）0，集合B=x|（）x9，则（UA）B=（）A（2，1）B（3，+）C（，3）（2，+）D（1，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|（x1）（x+3）0=x|x1或x3，则UA=x|3x1，B=x|（）x9=x|x2则（UA）B=x|x3，故选：B3在四边形ABCD中， =（2，3），=（6，4），则该四边形的面积为（）A2B13CD26【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，求得向量的模，由四边形的面积公式|，计算即可得到所求【解答】解：由=（2，3），=（6，4），可得=26+3（4）=0，即ACBD，又|=，|=2，则该四边形的面积为|=2=13故选：B4执行如图所示的程序，则输出的结果为（）ABCD【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1+的值，利用裂项法即可计算得解【解答】解：由程序框图知，本程序的功能是计算S=1+的值由于：S=1+（1）+（）+（）+（）=1+1=故选：D5从某校随机选取5名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示：身高x/cm165168170172175体重y/kg4951556169根据上表可得回归直线=2xa则预测身高为180cm的学生的体重为（）A73kgB75kgC77kgD79kg【考点】线性回归方程【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为180cm的高三男生的体重【解答】解：=170， =57， =2xa，57=2170a，a=283，当x=180时，y=2180283=77，故选C6已知向量=（an，1），=（an+1，2），且a1=1若数列an的前n项的和为Sn，且，则Sn=（）A2n1B12nC2（）n1D（）n2【考点】等比数列的前n项和；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】由，可得2an=an+1，再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出【解答】解：由，则2an=an+1，an是以1为首项的等比数列，公比q=2，Sn=2n1故选：A7已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）A3B2CD【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y，得y=2x+2z，平移直线y=2x+2z，由图象知当直线y=2x+2z经过点A时，直线y=2x+2z的截距最大，此时z最大，由得，即A（2，2），此时z=2+1=3，故选：A8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的表面积公式计算【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥的一部分，底面为扇形，圆心角为120，半径为2，锥体的高为4其表面积为： +=故选D9能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）Af（x）=2x+Bf（x）=tanCf（x）=x3+xDf（x）=ln【考点】函数奇偶性的性质【分析】确定B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而A不能，即可得出结论【解答】解：因为B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而圆2+y2=4是中心对称图形并关于原点对称，所以B、C、D三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长，而A不能，故选A10已知函数f（x）=（m2m1）是幂函数，对任意的x1、x2（0，+），且x1x2，满足0，若a、bR，且a+b0，ab0，则f（a）+f（b）的值（）A恒小于0B恒大于0C等于0D无法判断【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可【解答】解：由已知函数f（x）=（m2m1）是幂函数，可得m2m1=1，解得m=2或m=1，当m=2时，f（x）=x3；当m=1时，f（x）=x3对任意的x1、x2（0，+），且x1x2，满足0，函数是单调减函数，m=1，f（x）=x3a+b0，ab0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f（a）+f（b）恒小于0故选：A11将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x）+g（x）的叙述正确的是（）A函数的最大值为2，最小值为2Bx=是函数的一条对称轴C函数的增区间为k，k+，kZD将y=g（x）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin2（x）+=sin（2x）的图象，所给的函数y=g（x）+g（x）=sin2（x）+sin（2x）=cos2x+（sin2xcos2x）=sin（2x），所以y的最大值为，最小值为，故A错误；但x=时，y=0，故x=不是对称轴，故B错误；令2k2x2k+，解得 kxk+故C正确；将函数向左平移个单位得到 y=sin（2x+），故D错误，故选：C12已知直线l与双曲线=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的距离为2，则直线l的斜率为（）A1B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据点与抛物线的关系求出中点M的坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式【解答】解：由已知设M（a，b），抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=1M到抛物线焦点（1，0）的距离为2，a+1=2，即a=1，此时b2=4，则b=2，即M（1，2）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得=1，=1，两式相减可得，（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）=0，M为AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=4，可得直线AB的斜率为k=故选：C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知x0，使sinx的概率为【考点】几何概型【分析】求出满足sinx的区间宽度，代入几何概型概率计算公式，可得答案【解答】解：由x0，sinx，可得x，所求概率为P=，故答案为：14已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意画出图形，过点M作MNx轴，得到RtBNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合a，b，c的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率【解答】解：设双曲线方程为=1（a0，b0），如图所示，|AB|=|BM|，ABM=120，过点M作MNx轴，垂足为N，则MBN=60，在RtBMN中，|BM|=|AB|=2a，MBN=60，即有|BN|=2acos60=a，|MN|=2asin60=a，故点M的坐标为M（2a， a），代入双曲线方程得=1，即为a2=b2，即c2=2a2，则e=故答案为：15已知数列an的首项为3，bn为等差数列，且bn=an+1an（nN*），若b3=2，b10=12则a10=21【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数的通项公式可得bn，再利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出an【解答】解：设等差数列bn的公差为d，b3=2，b10=12b1+2d=2，b1+9d=12，解得b1=6，d=2bn=6+2（n1）=2n8bn=an+1an（nN*），an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=（2n10）+（2n12）+（6）+3=+3=n29n+11当n=10时，a10=102910+11=21故答案为：2116设过曲线f（x）=ex+x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=2cosxax上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为1，2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得f（x）的导数，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x2，y2）可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，分别求y1=a+2sinx2的值域A，y2=的值域B，由题意可得BA，可得a的不等式，可得a的范围【解答】解：f（x）=ex+x的导数为f（x）=ex+1，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，则过（x1，y1）处的切线l1的斜率为k1=ex1+1，g（x）=2cosxax的导数为g（x）=2sinxa，过g（x）图象上一点（x2，y2）处的切线l2的斜率为k2=a2sinx2由l1l2，可得（ex1+1）（a2sinx2）=1，即a+2sinx2=，任意的x1R，总存在x2R使等式成立则有y1=a+2sinx2的值域为A=a2，a+2y2=的值域为B=（0，1），有BA，即（0，1）a2，a+2，即，解得1a2故答案为：1，2三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1（）求角B的大小；（）若b=2，求y=a+c的取值范围【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB+2cos2B1=0，进而解得cosB的值，结合范围B（0，），即可得解B的值（）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得y=a+c=4sin（A+），求得范围，利用正弦函数的性质可得sin（A+）（，1，进而可求y=a+c的取值范围【解答】解：（）由2sin2+cos2B=1，有1cos（A+C）+cos2B=1cosB+2cos2B1=0，cosB=或cosB=1，又B（0，），B=（）由正弦定理，y=a+c=2RsinA+2RsinC=（sinA+sinC）= sinA+sin（A）= sin（A+）=4sin（A+）而c=A，sin（A+）（，1，y=4sin（A+）（2，418某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数据（人数）赞同反对合计企业职工102030事业职工20525合计302555（1）是否有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关？（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这6人作为一个样本，从中任选2人，求恰有1名为企业职工和1名事业职工的概率P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：K2=【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由题设知K2=11.97810.828，由此得到结果；（2）所抽样本中男士有，女士有4人，基本事件总数为15个，满足恰有1名为企业职工和1名事业职工的基本事件有24=8个，由此能求出事件“恰有1名为企业职工和1名事业职工”的概率【解答】解：（1）K2=11.97810.828有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关（2）由分层抽样是按比例抽取，所以，企业抽取2人记为a、b，事业抽取4人记为1、2、3、4总的事件：共15个基本事件，符合条件的事件为：8个，所求概率为P=19如图：四边形ABCD为等腰梯形，且ADBC，E为BC中点，AB=AD=BE现沿DE将CDE折起成四棱锥CABED，点O为ED的中点（1）在棱AC上是否存在一点M，使得OM平面CBE？并证明你的结论；（2）若AB=2，求四棱锥CABED的体积的最大值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可（2）底面ABED的面积不变为2当平面CED平面ABED时，锥体的高最大，根据棱锥的体积公式进行求解即可【解答】解：（1）存在，当M为AC的中点时，OM平面CBE取BC的中点F，连结MF，FEMF为ABC的中位线MPAB，MP=AB，又ABED，AB=ED，O为ED中点，MFEO，MF=EO四边形EFMO为平行四边形MOEF而EF平面BEC，OM平面BEC，OM平面BEC（2）底面ABED的面积不变为2当平面CED平面ABED时，锥体的高最大即CO平面ABED时，体积最大，此时OC=，最大体积为=220已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2（1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C在抛物线上运动时|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由记|AM|=m，|AN|=n求+的最大值，并求出此时圆C的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据抛物线的定义，结合圆的弦长公式建立方程进行求解即可（2）根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可求出相应的长度，结合基本不等式进行求解【解答】解：（1）抛物线的准线为y=，当C在抛物线顶点时，圆C的半径为p，圆C的方程为x2+y2=p2弦长l=2=2=p=2p=2，抛物线的方程为x2=4y（2）记C（a，），圆C的半径r=由垂径定理知|MN|=2=2=22=4|MN|为定值4由知，M（a2，0），N（a+2，0），|AM|=，|AN|=+=2=2，当a=0时， +=2当a0时， +=2=22=2当且仅当a=2时， +有最大值为2，此时圆C的方程为（x2）2+（y2）2=821设函数f（x）=alnxbx2，a，bR（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=相切；求实数a，b的值；求函数f（x）在，e上的最大值；当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的a0，x（1，e2都成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，根据切线方程，得到切线的斜率和切点，进而得到a，b；求出导数，求出极值和端点的函数值，比较即可得到最大值；当b=0时，即有alnxm+x对所有的a0，x（1，e2都成立，即malnxx对所有的a0，x（1，e2都成立，令h（a）=alnxx，求出最小值，再求x的最小值即可【解答】解：函数f（x）=alnxbx2，的导数f（x）=2bx，由于函数f（x）在x=1处与直线y=相切，则a2b=0，b=，解得a=1，b=；f（x）=lnxx2，f（x）=x，f（x）=0，解得x=1，1，e，且f（1）=，f（）=1，f（e）=1e2，则函数f（x）在，e上的最大值为：f（1）=；当b=0时，不等式f（x）m+x对所有的a0，x（1，e2都成立，则alnxm+x对所有的a0，x（1，e2都成立，即malnxx对所有的a0，x（1，e2都成立，令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，由于x（1，e2，则lnx0，在a0，上单调递增，则h（a）min=h（0）=x，即有mx对所有的x（1，e2都成立则m（x）min=e2即有实数m的取值范围是（，e2请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2，CF=2，求AE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）如图所示，连接BE由于AE是O的直径，可得ABE=90利用E与ACB都是所对的圆周角，可得E=ACB进而得到ABEADC，即可得到（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF再利用AFCCFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sinACD=sinAEB，AE=，即可得出