四川省棠湖中学2020届高三数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）

2020届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学（理）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1在复平面内，复数z满足z(1-i)=2，则z的共轭复数对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合M=x|x-1a1”是“数列an单调递增”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5若当x=时,函数f(x)=3sinx+4cosx取得最大值,则cos=A35 B45 C-35 D-456周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为A1.5尺 B2.5尺 C3.5尺 D4.5尺7函数f(x)=e|x|-2|x|-1的图象大致为A B C D8已知向量a，b满足ab=0，|a+b|=m|a|，若a+b与a-b的夹角为23，则m的值为A2 B3 C1 D129已知函数fx=ln1+9x2-3x+1,则flg(lg3)+flg(log310)=A-1 B0 C1 D210若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是A(3.5，) B(1，) C(4，) D(4.5，)11已知直线与双曲线右支交于两点，点在第一象限，若点满足（其中为坐标原点），且，则双曲线的渐近线方程为A B C D12已知M=|f()=0，N=|g()=0，若存在M，N，使得|-|g(x2)成立，则a的取值范围是_三、解答题17已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2=8，a3+a8=2a5+2（1）求an；（2）设数列1Sn的前n项和为Tn，求证：Tnb0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，已知m =(ax1,by1)，n =(ax2,by2)，若椭圆的离心率e=32，又经过点(32,1)，O为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)当mn时,试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.21已知函数f(x)=ex+ln(x+1)-ax（aR）（1）g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的零点个数；（2）当x0时，不等式ex+(x+1)ln(x+1)12ax2+ax+1恒成立，求实数a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x+y=1与曲线C2:x=2+2cosy=2sin（为参数，0,2）以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线C1,C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知点A是射线l:=0与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当在区间0,2上变化时，求OBOA的最大值23设函数fx=2x+2x+3+m,mR.（1）当m=-2时，求不等式fx3的解集；（2）x-,0，都有fxx+2x恒成立，求m的取值范围.2020届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学（理）试题数学 答 案参考答案1D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】由z（1i）=2，得z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i，z=1-i则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2A【解析】M=xx-1an，可得a的范围由“a2a1”可得：2+a21+a，可得a的范围，即可判断出关系.【详解】数列an单调递增an+1an，可得：n+1+an+1n+an，化为：an2+n，aa1”可得：2+a21+a，可得：aa1”是“数列an单调递增”的充要条件，故选C【点睛】本题考查了数列的单调性、不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，数列是特殊的函数，其特殊之处在于定义域为n0且nN*，属于中档题；如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”，p与q互为充要条件5B【解析】【分析】函数fx解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】fx=535sinx+45cosx=5sinx+，其中sin=45,cos=35, 当x+=2k+2,kZ，即x=2k+2-时，fx取得最大值5 ,2k+2-=，则cos=cos2k+2-=sin=45，故选B.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.6B【解析】设各节气日影长依次成等差数列an，Sn是其前n项和，则S9=9(a1+a9)2=9a5=85.5，所以a5=9.5，由题知a1+a4+a7=3a4=31.5，所以a4=10.5，所以公差d=a5-a4=1，所以a12=a5+7d=2.5，故选B7C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项B，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项A,D，从而可得结果.【详解】函数fx=ex-2x-1是偶函数，排除选项B；当x0时，函数fx=ex-2x-1 ，可得fx=ex-2，当x0,ln2时，fxln2时，函数是增函数，排除项选项A,D，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象8A【解析】【分析】由ab=0可知两向量垂直，根据向量加法和减法的几何意义可知a+b=a-b=ma.再根据向量的夹角公式，列方程，可求得m的值.【详解】由ab=0可知两向量垂直，根据向量加法和减法的几何意义可知a+b=a-b=ma.根据夹角公式有cos23=a+ba-ba+ba-b=a2-b2m2a2=-12，化简得b=m2+22a，再由a+b2=a2+b2=m2a2，解得m=2，故选A.【点睛】本小题主要考查两个向量加法和减法的几何意义，考查两个向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题.两个向量加法的几何意义是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，两个向量减法的几何意义是以这两个向量为两边的三角形的第三边.向量运算时要注意夹角的大小.9D【解析】【分析】构造函数gx=ln1+9x2-3x，证明它是奇函数.而lglg3=lglg3lg10=lglg10lg3-1=-lglog310，即求f-x+fx的值.【详解】构造函数gx=ln1+9x2-3x，g-x=ln1+9x2+3x=ln1+9x2-3x-1=-ln1+9x2-3x=-gx，故gx为奇函数.而lglg3=lglg3lg10=lglg10lg3-1=-lglog310.计算f-x+fx=g-x+1+gx+1=2，所以所求式子的值为2.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查一个函数的解析式有部分为奇函数的函数求值问题，属于中档题.10B【解析】【分析】令fx=0,gx=0，转化为ax=-x+4,logax=-x+4，即y=ax,y=logax与直线y=-x+4的交点.根据同底的指数函数与对数函数互为相反数，图像关于y=x对称，结合图像，可判断得m+n=4，然后化简1m+1n=141m+1nm+n，展开后利用基本不等式可求得最小值及取值范围.【详解】令fx=0,gx=0，转化为ax=-x+4,logax=-x+4，即y=ax,y=logax与直线y=-x+4的交点.根据同底的指数函数与对数函数互为相反数，图像关于y=x对称.画出图像如下图所示，由图可知，m+n=4mn，故1m+1n=141m+1nm+n =142+nm+mn142+2nmmn=1.故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的研究方法，考查指数函数和对数函数互为反函数，并且考查了互为反函数的函数图像关于y=x对称的特点.同底的指数函数y=ax，与对数函数y=logax互为反函数，图像关于y=x对称.数形结合的数学思想方法是解决本题的关键点.11B【解析】设， ，则.得，即.点满足，即双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为故选B.12B【解析】易知函数f(x)在R上单调递增，且f(2)=22-2-1=0，所以函数f(x)只有一个零点2，故M=2.由题意知|2-|1，即10，函数h(x)单调递增；当x(2,3)时，h(x)1e，所以1eh(x)h(2)=4e2，所以a的取值范围为(1e,4e2.故选B.点睛：本题通过新定义满足“1度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为a=x2ex，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.1340【解析】【分析】(x-2)5的通项为Tr+1=C5rx5-r-2r，令5-r=3,r=2，求得(x-2)5展开式中的x3项的系数，从而可得结果.【详解】(x-2)5的通项为Tr+1=C5rx5-r-2r，令5-r=3,r=2，(x-2)5展开式中的x3项的系数为C52-22=40，即x(x-2)5展开式中的x4项的系数为40，故答案为40.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式Tr+1=Cnran-rbr；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.141【解析】【详解】曲线f(x)=x2+ax在点(1,f(1)处的切线与直线x+y-2=0垂直，所以切线斜率为1，f1=1，fx=2x-ax2，f1=2-a=1，解得a=1，故答案为1.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点Ax0,fx0求斜率k,即求该点处的导数k=fx0；(2) 己知斜率k求切点Ax1,fx1,即解方程fx1=k；(3) 巳知切线过某点Mx1,fx1(不是切点) 求切点, 设出切点Ax0,fx0,利用k=fx1-fx0x1-x0=fx0求解.155【解析】分析：作出图形，以BAC为变量，在ABD和ABC中，分别利用余弦定理和正弦定理将AD表示为关于BAC的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解详解：设BAC=，在ABC中，由正弦定理，得BCsin=ACsinABC，即BCsin=5sinABC，即BCsinABC=5sin，由余弦定理，得BC2=6-25cos；在ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD，=1+4BC2+4BCsinABC=25-85cos+45sin=25+20sin(-)，其中tan=2，则AD25，即AD的最小值为5点睛：（1）解决本题的关键是合理选择BAC为自变量，再在ABC和ABD中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：asin+bcos=a2+b2sin(+)，其中tan=ba16agmax(x)成立，已知a0，则g(x)a+1，得a-12，故a的取值范围是a-12.点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，在解题的过程中，需要根据题意向最值靠拢，结合导数研究函数的单调性，从而求得函数相应的最值，求得结果.17（1）an=2n+1；（2）见解析【解析】【分析】（1）设公差为d，由S2=8，a3+a8=2a5+2可得2a1+d=8，2a1+9d=2a1+8d+2，解得a1=3，d=2，从而可得结果；（2） 由（1），an=2n+1，则有Sn=n2(3+2n+1)=n2+2n，则1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）设公差为d，由题2a1+d=8，2a1+9d=2a1+8d+2，解得a1=3，d=2所以an=2n+1 （2） 由（1），an=2n+1，则有Sn=n2(3+2n+1)=n2+2n则1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)所以Tn =12(1-13)+(12-14)+(13-15)+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2) 0 即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)0得到x1+x2=-2ktk2+4，x1x2=t2-4k2+4 mn，4x1x2+y1y2=04x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0代入整理得：2t2-k2=4 S=12|t|1+k2|AB|=12|t|(x1+x2)2-4x1x1 =|t|4k2-4t2+16k2+4=4t22|t|=1 所以三角形的面积为定值【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程参数a,b的求法，考查直线与椭圆的位置关系，以及两个向量垂直的数量表示.有一定运算能力的要求，属于难题.21（1）见解析（2）a2【解析】分析：(1)先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到g(x)的零点个数；(2)设h(x)=ex+(x+1)ln(x+1)，求h(x)的最值，再转化为a2x2+2x在0,+)上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.详解：（1）g(x)=f(x)=ex+1x+1-a，x-1，g(x)=ex-1(x+1)2，g(0)=0，且当x(-1,0)时，ex1，所以g(x)1，011+x0于是g(x)在(-1,0)递减，在(0,+)递增，故g(x)min=g(0)=2-a，所以a0，所以g(x)无零点；a=2时，g(x)min=g(0)=2-a=0，g(x)有唯一零点x=0；a2时，g(x)min=g(0)=2-a0，则g(x1)=e1a-10，g(x2)=11+lna0，于是g(x)在(x1,0)和(0,x2)内各有一个零点，从而g(x)有两个零点（2）令h(x)=ex+(x+1)ln(x+1)-12ax2-ax-1，h(0)=0，h(x)=ex+ln(x+1)-ax+1-a，h(0)=2-a，h(x)=g(x)=ex+1x+1-a当a2时，由（1）知，h(x)0，所以h(x)在(0,+)上递增，知h(x)h(0)=2-a0，则g(x)在0,+)上递增，所以h(x)h(0)=0，符合题意；当a2时，据（1）知g(x)在0,+)上递增且存在零点x0，当x(0,x0)时h(x)=g(x)0，所以h(x)在(0,x0)上递减，又h(0)=2-a0，所以h(x)在(0,x2)上递减，则h(x)h(0)=0，不符合题意综上，a2点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，在解题的过程中，需要对求导公式熟练掌握，要理解函数的零点的概念，通过函数图像的走向，借助于最值的符号得到零点的个数，需要对参数进行讨论，再者就是有关不等式恒成立问题，大多采用分离参数，构造新函数，利用最值得到结果，无论求什么，都需要时刻记着先保证函数的生存权，即定义域优先.22（1）sin+4=22，=4cos（2）2+22【解析】【试题分析】（1）对于曲线C1直接代入公式即可得到极坐