宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）

宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合B，进而求交集即可得到结果.【详解】由题意可得，又 故选：C【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题2.复数，则（ ）A. B. -2C. D. 2【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式乘除运算化简得答案【详解】解：， ，故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算， 是基础的计算题3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A. ，的平均数B. ，的标准差C. ，的最大值D. ，的中位数【答案】B【解析】【分析】平均数反应的是水平,而方差和标准差反映的是稳定性.【详解】标准差能反映一个数据集的离散程度,因此可以用来评估共享单车使用量的稳定性,故选B.【点睛】本道题目考查了平均数和标准差的概念和意义,注意两者反映总体的水平不同.4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（ ）A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，0，解得4，数列是等差数列，且故选：B【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，利用求出，从而可得结果.【详解】因为向量与向量方向相反，所以可设，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.6.设不等式组，表示的可行域与区域关于轴对称，若点，则的最小值为（ ）A. -9B. 9C. -7D. 7【答案】C【解析】【分析】由不等式组表示出可行域，然后得到区域，继而求出结果【详解】作出区域（阴影部分），由图可知，当直线经过点时，取得最小值-7故选【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，先画出可行域，然后改写目标函数，运用几何意义求出最值7.学校就如程序中循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行；此时满足，执行；此时满足，执行；此时不满足，输出的值为.本题选择C选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证8.与垂直，且与圆相切的一条直线是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设与直线垂直的直线方程为，求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的方程【详解】设与直线垂直的直线方程为，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为半径2，即或，所以，或，由选项可知B正确，故选B.【点睛】本题是基础题,考查直线的垂直,直线与圆的位置关系,考查计算能力,注意直线的设法,简化解题过程.9.已知函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）A. 横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到B. 横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到C. 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到D. 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到【答案】B【解析】【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，即可得到答案.【详解】将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，可得，再将上的点向右平移个单位，得，所以要得到，只需将图象上的点横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答总熟记三角函数的图象变换的规则，合理变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，该几何体的表面积为（ ）A. B. 4C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥，求得其斜高为，利用面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥，可得其斜高为，所以正四棱锥的表面积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.11.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数定义域是R，函数有两个极值点，其导函数有两个不同的零点；将导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m的范围.【详解】函数的定义域为，.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于的方程有两个不同的解，令，则，当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，；当时，且，故，所以，故选B.【点睛】本题考查了利用函数极值点性质求解参数范围，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要求较高，属于中档题；解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化为函数交点个数的问题，再通过函数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在四面体中，设,过点A作于E，连接，得，求得，令，利用导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答案.【详解】如图所示，设,过点A作于E，连接，则，又，所以，所以，令，则，解得，所以体积的最大值为，所以此三棱锥的体积的取值范围是，故选A. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征和体积的计算，以及利用导数求解最值的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和体积公式，得到体积的表达式，准确利用导数求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知抛物线上一点与该抛物线的焦点的距离，则点的横坐标_【答案】3【解析】与焦点的距离，即代准线的距离为，准线为，的横坐标为点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到14.已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有，三位学生对其排名猜测如下：甲第一名，乙第二名；：丙第一名；甲第二名；：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，三人都恰好猜对了一半，则第一名是_【答案】丙【解析】【分析】根据假设分析，现假设A中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B的说法，即可得到答案.【详解】由题意，假设A的说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以A中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知函数，则的解集为_【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】 ，当时，解得；当时，解得，综上，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，且.若对任意，恒成立，则实数的最小值为_【答案】【解析】【分析】当时，解得，当时，化简得，利用累积法，求得，进而得，利用裂项法得，进而利用对于任意恒成立，即可求解.【详解】数列的前n项和为，满足，当时，解得，所以当时，化简得，所以当时，当时上式也成立，所以，因为，所以，若对于任意恒成立，则实数的最小值为.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.在中，角，所对的边分别是，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得 ，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且 ，由正弦定理，因为，所以，所以， （2）， ， ，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径18.2020年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.附：临界值表2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式：，.【答案】（1）有把握；（2）.【解析】【分析】(1)由直方图得到列联表，利用公式求得的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，得到试验的全部结果所构成的区域及事件表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果.【详解】(1)如下表：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30939捐款低于500元5611合计351550 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，则)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为，则S1，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A(x，y)|yx，7x8,7.5y8.5，即图中的阴影部分面积为，所以，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度19.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点是的中点，且交于点，.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证AM平面SCD，再由线面垂直的性质定理可得AMSC，已知，可证，即可证明；（2）M是SD的中点，由（1）三知：三棱锥的体积，只需求解三棱锥的体积.【详解】（1）证明：由已知，得，又，平面，平面，平面，.又，是的中点，又，平面，平面，又平面，由已知，易得平面.平面，.（2）解：由题意可知，在中，.由，可得，则，故三棱锥体积.【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若椭圆的离心率为，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦，的中点分别为，证明：，三点共线.【答案】() ()详见解析【解析】【分析】()由的周长为求得，由离心率求得，从而可得的值，进而可得结果；()易知，当直线的斜率不存在时，三点共线；当直线的斜率存在时，由点差法可得 ，即，.同理可得，从而可得结论.【详解】()由题意知，.又，椭圆的方程为.()易知，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点在轴上，三点共线；当直线的斜率存在时，设其斜率为，且设.联立方程得相减得，即，.同理可得，所以三点共线.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.【解析】【分析】（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线平行所以，即，由且，得，即的单调递减区间是由得，即的单调递增区间是.（2）由（1）知不等式恒成立可化恒成立即恒成立令当时，上单调递减.当时，在上单调递增.所以时，函数有最小值由恒成立得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值