江西省高安二中2020学年高一数学上学期期中试题（A）

高安二中高安二中 20202020 上学期高一期中考试上学期高一期中考试 数学数学(A)(A)试题试题 考试时间：120 分钟 分值：150 分 1 1、选择题：（本大题共选择题：（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每个小题给出的四个选项中，在每个小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求有且只有一项符合题目要求. .） 1.1. 设集合 |Ax yx ， |lg By yx，则（ ）AB A0, B0, CR D,0 2.2.设圆x2y22x2y20 的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C 交于A，B两点，若 |AB|2，则直线l的方程为( ) 3 A3x4y120 或x0 B3x4y120 或 4x3y90 C4x3y90 或x0 D3x4y120 或 4x3y90 3.3.已知点，2, 1C ，3,4D，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A B2 C D 4.4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） 2 2 ( )logf xxx0) 1 () 1(fxf A B C D)2 , 0()2 , 1()2 , 1 () 1 , 0( 1,1)(1,3) 5 5 已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) AABm BACm CAB DAC 6.6.已知为锐角，为第二象限角，且 ， 2 1 )sin(, 2 1 )cos( 则 ( )3sin( A B C D 2 1 2 1 2 3 2 3 7.7. 4sin80( ) cos10 sin10 A. B C. D3322 23 8.8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为( ) A8 B16 C24 D48 9.9.设函数 ，若方程恰好有三个根，分别为 sin 2 4 fxx 9 0, 8 x f xa ，则的值为（ ） 123 ,x xx 123 ()xxx 123 23xxx A B C D 3 4 3 2 7 4 10.10. 己知是定义在 R 上的增函数，函数的图象关于点(1，0)对称，若对( )f x(1)yf x 任意的，不等式恒成立，则当时，, x yR 22 (621)(8 )0f xxf yy3x 的取值范围是（ ） 22 xy A (3,7) B (9,25) C (13,49） D (9,49) 11.11.已知定义在上的函数为增函数，且， 0, f x 1 1f xff x x 则等于（ ） 1f A. B C. 或 D 15 2 15 2 15 2 15 2 5 1212.已知函数，若方程有六个相异实根， 2 ,0 ( ) 2 ,0 x x f x xx x 2 1 ( )( )0 4 fxbf x 则实数的取值范围（ ） b A 2,0 B 2, 1 C 5 ,0 4 D 5 , 1 4 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。把答案填在答题纸的横线上）分。把答案填在答题纸的横线上） 13.13. 已知向量满足，记向量的夹角为，, a b 1,2,1,3abab , a b 则 _tan 14.14. 已知函数，当时，有最大值，则 5sin12cosf xxx 0 xx f x13 = 0 cosx 15.15. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥 A1-BC1D 内切球的表面积为，则正方体外接球4 的体积为 16.16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化， 相互统一的和谐美.定义：能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 O 的 一个“太极函数”.下列有关说法中： 对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； 22 :1O xy 函数是圆的一个太极函数； sin1f xx 2 2 :11O xy 存在圆，使得是圆的太极函数； O 1 1 x x e f x e O 直线所对应的函数一定是圆12110mxmy 的太极函数； 22 2 :210OxyRR 所有正确说法的序号是 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.(17.(本小题满分本小题满分 1010 分分) ) 已知向量 ， , 22 2, 2cos20,0, 222 axb f xab 函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为. f x1,2BB4 （）求的单调递增区间； （）计算。 f x 12.2017fff 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数对任意， 2 2sin2 2cos52 44 f xxxa 0, 2 x 不等式恒成立，求的取值范围 62f xaa 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 如图（1）所示，已知四边形是由直角和直角梯形拼接而成的，其SBCDSABABCD 中，且点为线段的中点，现将90SABSDC ASD21ADDCABSD 沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示，连接SABABSAB ABCD ，点、分别在线段、上SCEFSBSC （）证明：；BDAF （）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求点到BACESABCD 2 5 E 平面的距离ABCD 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数的定义域为，值域为，且对任意，都有 f xR0,m nR ， . f mnf m f n 1 1 f x x f x （1）求的值，并证明为奇函数； 0f x （2）若时， ，且，判断的单调性（不要求证明） ，并利0 x 1f x 34f f x 用判断结果解不等式. 15 17 x 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的 2 2 :44M xyP:20l xyPM 切线，切点为,PA PB,A B (1)当切线的长度为时，求点的坐标；PA2 3P (2)若的外接圆为圆，试问：当在直线 上运动时，圆是否过定点？若存PAMNPlN 在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求线段长度的最小值AB 22.(22.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知 f x为奇函数， g x为偶函数，且 2 2log1f xg xx （1）求 f x及 g x的解析式及定义域； （2）若关于x的不等式 20 x fm恒成立，求实数m的取值范围 （3）如果函数 2g xF x ，若函数 213212 xx yFkk有两个零点，求 实数k的取值范围 高安二中高安二中 20202020 上学期高一期中考试上学期高一期中考试 数学数学(A)(A)参考答案参考答案 2 2、选择题：选择题： BABCDBABCD BABDCBABDC ADAD 二、填空题：二、填空题： 13.13. 14.14. 15.15. 16.16. 15 12 13 36 三、解答题三、解答题 17.(17.(本小题满分本小题满分 1010 分分) ) 解：(1) 向量， 22 2,2cos2, 22 axb ， 22 22cos21 cos2 22 f xabxx 点为函数图象上的一个最高点， 点与其相邻的最高 max2,f x1,2B f xB 点的距离为， ， 函数图象过点， 4 2 4, 24 f x1,2B ， -4 分1 cos22,sin21 2 ， ，0, 24 1 cos21 sin 442 f xxx 由，得，22 222 kxkkZ 1414kxk kZ 的单调增区间是. -7 分 f x14 ,14kkkZ (2) 由（1）知的周期为， 1 sin, 2 f xxf x 4 且， ， 12,21,30,41ffff 12344ffff 而. 20174 504 1,12.20174 50422018fff -10 分 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解: 1 cos 22 cossin52sin22 cossin53 2 f xxxxaxxxa 设，所以，其中， sincostxx 2 sin21xt2,2t 设， -4 分 2 252g ttta2,2t 当时， 0, 2 x sincos2sin1,2 4 txxx 又在区间上单调递增， 2 2 252151g tttata1,2 所以，从而， -8 分 min 11 5g tga min1 5f xa 要使不等式在区间上恒成立，只要， 62f xa0, 2 1 562aa 解得： -12 分 5 3 a 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解：（）因为平面平面，又，所以平面 SABABCDSAABSA ABCD 又平面， 所以BD ABCDSABD 在直角梯形中，ABCD90BADADC 21ADCD2AB 所以， 又， 1 tantan 2 ABDCAD90DACBAC 所以， 即，90ABDBACACBD 又， 所以平面 ACSAABD SAC 因为平面，所以. -6 分AF SACBDAF （）设点到平面的距离为，因为，且，EABCDh B AECE ABC VV 2 5 E ABC SABCD V V 所， 115 1 1 5 322 11 2 2 1 32 ABCD SABCD E ABC ABC SSA V V Shh 形形 即，故点到平面的距离为. -12 分 1 2 h EABCD 1 2 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解：（1）解：令，得，0mn 000fff 值域为， ， f x0, 01f 的定义域为， 的定义域为， f xR xR 又， 0ffx f x ， 1 1 11 1 11 1 fxf xf x xx fxf x f x 为奇函数. -6 分 x （2）判断： 为上的增函数， ， f xR 11515 16 17117 f x xf x f x ， ， 34f 16336fff 又为上的增函数， ， f xR 166f xx 故的解集为. -12 分 15 17 x6x x 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解： (1)由题意知，圆的半径，设， M 2,0,4rM2 ,Pb b 是圆的一条切线， PAM 0 90MAP ，解得， 22 22 0244MPbbAMAP 8 0, 5 bb 或-2 分 0,0P 16 8 , 55 P (2)设，经过三点的圆以为直径，其方程为 2 ,Pb b 0 90MAP , ,A P M NMP ，-4 分 2 2 2 2 444 24 bbb xby 即， 22 2440 xybxyy 由，解得或， 22 240 40 xy xyy 0 4 x y 8 5 4 5 x y 圆过定点，-7 分 0,4 8 4 , 5 5 (3)因为圆方程为， N 2 2 2 2 444 24 bbb xby 即， 22 2440 xybxbyb 圆，即， 2 2 :44M xy 22 8120 xyy -得：圆与圆相交弦所在直线方程为： MNAB ，-9 分 241240bxbyb 点到直线的距离，-10 分 MAB 2 4 5816 d bb 相交弦长即：， 2 22 44 2 44 14 1 5816 464 5 55 ABd bb b 当时，有最小值-12 分 4 5 b AB11 22.(22.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解：（1）因为 f x是奇函数， g x是偶函数， 所以 fxf x ， gxg x， 2 2log1f xg xx， 令xx 代入上式得 2 2log1fxgxx， 即 2 2log1f xg xx， 联立可得， 2 1 log 1log 1log11 1 x f xxxx x ， 2 2 log 1log 1log111g xxxxx -4 分 （2）因为 2 1 log 1 x f x x ，所以 2 12 2log 12 x x x f ， 设 12 12 x x t ，则 122 1 1212 x xx t ，因为 f x的定义域为1,1，20 x ， 所以021 x ，1122 x ， 11 1 212x ， 2 011 12x ， ， 即01t ， 2 log0t ，因为关于x的不等式 20 x fm恒成立，则 max 2xmf， 又 20 x f，0m，故m的取值范围为0,m -8