数学分析 第十二章 广义积分与含参变量积分

.,广义积分,含参变量积分,与,第十二章,1无穷积分,2瑕积分,.,1.概念,.,注.无穷积分收敛即为极限存在.,.,定义.设在有定义,且在任意闭区间上可积.若存在,则称无穷积分收敛,并定义,.,定义.设在有定义.若对某个数,和都收敛,则称无穷积分收敛,并定义,.,注.,.,若,是在的原函数,且存在,则,注.对无穷积分也有类似于定积分的线性性质,分部积分公式,换元公式.,记成,.,.,下面讨论只针对加以叙述.所得结论对及也相应成立.,.,2.Cauchy收敛原理,.,定义.若收敛,则称绝对收敛.若收敛,而发散,则称条件收敛.,.,3.比较判别法,.,定理1.3.(比较判别法)设,在有定义,且在任意闭区间上可积.又设存在,使得则有(1)若收敛,则收敛.(2)若发散,则发散.,.,推论1.2.(比较判别法的极限形式)设,在有定义,且在任意闭区间上可积.又假定且(可以是)那么得到下列结论,.,(可以是)那么得到下列结论(1)当时,若收敛,则收敛.(2)当时,若发散,则发散.,.,推论1.3.(Cauchy判别法)设在有定义,且在任意闭区间上可积.又假定且(可以是)那么得到下列结论,.,(可以是)那么得到下列结论(1)若,则收敛.(2)若,则发散.,.,思考.收敛反之不成立.收敛？回答是否定的.,.,4.Abel判别法和Dirichlet判别法引理1.1.设,在可积.若在单调下降,且.则存在,使得,.,引理1.2.设,在可积.若在单调上升,且.则存在,使得,.,定理1.4.(积分第二中值定理)设,在可积.若在单调,则存在,使得,.,定理1.5.(Abel判别法)设,在有定义,且在任意闭区间上可积.若(1)在单调有界;(2)收敛,则收敛.,.,定理1.6.(Dirichlet判别法)设,在有定义,且在任意闭区间上可积.若(1)在单调,且;(2)关于有界,即,使得,则收敛.,.,2瑕积分,1.瑕点与瑕积分定义.若在的任何一个空心邻域无界,则称是的一个瑕点或奇点.,.,定义.假定在任意闭区间可积.若是的瑕点,且极限存在,则称瑕积分收敛,并定义若不存在,则称瑕积分发散.,.,定义.假定在任意闭区间可积.若是的瑕点,且极限存在,则称瑕积分收敛,并定义若不存在,则称瑕积分发散.,.,定义.设.若是的瑕点,且和都收敛,则称瑕积分收敛,并定义若和中有一个发散,则称发散.,.,定义.若都是的瑕点,且和都收敛,则称瑕积分收敛,并定义其中.若和中有一个发散,则称发散.,.,注.若都是的瑕点,不依赖于的选取.,.,.,注.对瑕积分也有类似于定积分的线性性质,分部积分公式,换元公式.,注.广义积分无乘积性质.,.,2.Cauchy收敛原理定理2.1.设在有定义,且在任意闭区间可积,是瑕点.则收敛的充要条件是:,当时,.,推论2.1.设是的瑕点.若收敛,则收敛.,.,3.比较判别法设是在的唯一瑕点,且关于单调下降,则存在的充要条件是:关于有界.,.,定理2.2.(比较判别法)设,在有定义,且在任意闭区间上可积,又是的瑕点.若存在,使得则有下列结论(1)若收敛,则收敛.(2)若发散,则发散.,.,定理2.3.(比较判别法的极限形式)设,在有定义,且在任意闭区间上可积,又是的瑕点.若存在,使得并且(可以是)则有下列结论,.,(1)当时,若收敛,则收敛.(2)当时,若发散,则发散.,.,推论2.2.(Cauchy判别法)设在有定义,且在任意闭区间上可积.又假定且(可以是)那么得到下列结论,.,(1)若,则收敛.(2)若,则发散.,.,注.若在有有限个瑕点,分割,使得每个有限子区间只含一个瑕点,而最后一个为无穷区间,它不含瑕点.定义为这些子区间上积分之和,且只要在一个子区间上发散,就认为发散.,.,4.Abel判别法和Dirichlet判别法定理2.4.(Abel判别法)设,在有定义,在任意闭区间上可积,并且是的瑕点.若(1)在单调有界;(2)收敛,则收敛.,.,定理2.5.(Dirichlet判别法)设,在有定义,在任意闭区间上可积,并且是的瑕点.若(1)在单调,且;(2)关于有界,即,使得,则收敛.,.,5.瑕积分与无穷积分的联系以为瑕点的瑕积分,可通过变量替换而化为无穷积分,.,6.Cauchy主值与奇异积分定义.设,在有定义且在任意闭区间上可积,并以为瑕点.若存在,则称在Cauchy主值意义下收敛,而被称作的Cauchy主值,记作,.,注.设是的瑕点.若收敛,则它在Cauchy主值意义下收敛.,.,例9.设在连续,且对任意的满足其中均为正常数,且(称在满足Hlder条件).证明:对任意的，在Cauchy主值意义下收敛.,.,定义.设在有定义,且在任意闭区间上可积.若存在,则称在Cauchy主值意义下收敛,而被称作的Cauchy主值,记作.,.,例10.计算,注.在Cauchy主值意义下的广义积分,称做奇异积分.,.,3含参变量积分,1.概念,.,2.含参变量积分的连续性,.,注.问题更一般的提法:若定义在,并假定对每一个,作为的函数在可积.问何时成立,.,定义.设定义在上,.若存在函数,只与有关,使得当且时,则称当时,关于一致收敛于.,.,定理3.2.若在连续,是上连续函数,且则在连续.,.,例2.求,3.积分号下求导,.,定理3.4.若在连续,在可导,且则在可导,且,.,4.积分号的交换,注.记,.,4含参变量无穷积分,1.含参变量无穷积分,.,定义.设定义在,且对每一个,无穷积分都收敛.若,使得当时,则称关于一致收敛.,.,2.含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理4.1.(Cauchy收敛原理)在中一致收敛的充要条件是:,使得当时,.,定义.若在中一致收敛,则称在中绝对一致收敛.若在中一致收敛,而在中不一致收敛,则称在中条件一致收敛.,.,注.也称为M-判别法.,.,注.绝对一致收敛蕴含着一致收敛.M-判别法只适用于绝对一致收敛情况.,.,定理4.4.(Abel判别法)若在有定义,且满足(1)对每个固定的,是的单调函数,且关于一致有界,即,使得;关于一致收敛,则关于一致收敛.,.,定理4.5.(Dirichlet判别法)若在有定义,且满足(1)对每个固定的,是的单调函数,且当时,关于一致趋于,关于一致有界,即则在中一致收敛.,.,.,3.一致收敛的含参变量无穷积分的性质定理4.6.设在连续,其中为一区间(开,闭或半开半闭区间).若关于一致收敛,则在上连续.,.,定理4.7.(积分次序交换定理)设在连续.若关于一致收敛,则,注.如果换成无穷区间,条件要加强.,.,定理4.8.设在连续.若在内闭一致收敛,在内闭一致收敛,并且或中至少有一个收敛,则与均存在且相等,即,.,定理4.9.(积分号下求导定理)若(1)在连续,(2)对每个均收敛,(3)关于一致收敛,则在可导,且,.,注.称为Dirichlet积分.,.,定理4.7.(积分次序交换定理)设在连续.,则,若关于一致收敛,.,.,4.Dini定理定理4.10.(Dini定理)设在连续,且(或).若对每个,收敛,且在连续,则在一致收敛.,注.换成开区间,结论不一定成立.,.,注.从证明过程看出,我们实质上证明了比定理4.10更一般的命题.,.,5含参变量瑕积分,定义.设定义在,以为瑕,则称关于一致收敛.,都收敛.,点,且对每一个,瑕积分,若,使得当时,.,定理5.1.(Cauchy收敛原理)以为瑕点的含参变量瑕积分在中一致收敛的充要条件是:使得当时,.,注.若在中一致收敛,则,注.可类似含参变量无穷积分,定义绝对一致收敛和条件一致收敛.,在中一致收敛.,.,定理5.2.(M-判别法)设在有定义,是瑕点.若存在,使得(1)(2)收敛.则在中一致收敛.,注.M-判别法只适用于绝对一致收敛情况.,.,定理5.3.(Abel判别法)设在有定义,以为瑕点.如果(1)对每个固定的,是的单调函数,且关于一致有界,即,使得关于一致收敛,则关于一致收敛.,.,定理5.4.(Dirichlet判别法)设在有定义,以为瑕点.如果(1)对每个固定的,是的单调函数,且当时,关于一致收敛于,(2)在一致有界,即,则关于一致收敛.,.,例1.证明:关于内闭一致收敛.,.,定理5.5.设在连续.若关于一致收敛,则在上连续.,例2.设.讨论的定义域和连续范围.,.,定理5.6.设在连续.若关于一致收敛,则,.,定理5.7.设在连续.若关于每个都收敛,关于一致收敛,则在可导,且,例3.求的表达式,及的值.,.,6函数与函数,1.函数,命题6.3.在有任意阶导数.,命题6.2.在连续.,命题6.1.的定义域为.,.,命题6.4.,性质.,注.,由此只要知道的值,就可以计算.,.,性质.有如下表示方法,(2),(1),.,2.函数,命题6.8.(对称性)