微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

页眉 第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.证：由，知，当时，有取，有，设时（此时）有由数列极限的定义得 .2. 试利用不等式说明：若xn=a,则xn=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.证：而 于是， 即 由数列极限的定义得 考察数列 ，知不存在，而，所以前面所证结论反之不成立。3. 利用夹逼定理证明：(1) =0； (2) =0.证：（1）因为 而且 ，所以由夹逼定理，得.（2）因为，而且，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) xn=，n=1,2,；(2) x1=,xn+1,n=1,2,.证：（1）略。 （2）因为，不妨设，则故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，又 ，而,，所以 即 ，即数列是单调递增数列。综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。习题2-21. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证：先证充分性：即证若，则.由及知： ,当时，有，当时，有。取，则当或时，有，而或就是，于是，当时，有，所以 . 再证必要性：即若，则,由知，当时，有，由就是 或，于是，当或时，有.所以 综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和；(2) 设f(x)= ，问常数a为何值时，f(x)存在.解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故. （2）若存在，则，由（1）知 ， 所以，当时，存在。3. 利用极限的几何意义说明sinx不存在.解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。习题2-31. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。 例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。 例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。2. 判断下列命题是否正确：(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；(6) y=xsinx在(-，+)内无界，但xsinx；(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材2.3定理3； （3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量； （4）正确，见教材2.3定理2； （5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量； （6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；（7）正确，见教材2.3定理5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1) f(x)= ,x2; (2) f(x)=lnx，x0+，x1,x+；(3) f(x)= ,x0+，x0-； (4) f(x)= -arctanx,x+;(5) f(x)= sinx,x; (6) f(x)= ，x.解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。 （2）从的图像可以看出，所以，当时，时，是无穷大量； 当时，是无穷小量。 （3）从的图可以看出，所以，当时，是无穷大量； 当时，是无穷小量。 （4），当时，是无穷小量。 （5）当时，是无穷小量，是有界函数， 是无穷小量。（6）当时，是无穷小量，是有界变量， 是无穷小量。习题2-41.若f(x)存在，g(x)不存在，问f(x)g(x), f(x)g(x)是否存在，为什么?解：若f(x)存在，g(x)不存在，则（1）f(x)g(x)不存在。因为若f(x)g(x)存在，则由或以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。（2）f(x)g(x)可能存在，也可能不存在，如：，则，不存在，但f(x)g(x)=存在。又如：，则，不存在，而f(x)g(x)不存在。2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)g(x)，证明f(x)g(x).证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，使得当时，有，当时，有令，则当时，有从而，由的任意性推出即.3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，am为m个正常数，则=A,其中A=maxa1,a2,，am.证：因为，即而，由夹逼定理得.4. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1,x2=,，xn+1=（n=1,2,），则xn存在，并求该极限.证：因为有今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.5. 求下列极限：(1) ； (2) ；(3) ; (4) ；(5) .解：（1）原式=；（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；（3）而，；（4）；（5）.6. 求下列极限：(1) ； (2) ；(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ；(9) ； (10) ；(11) . 解：（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）；（9）；（10）（11）当时，是无穷小量，是有界函数， 它们之积是无穷小量，即。习题2-5求下列极限(其中a0,a1为常数）：1. ; 2. ; 3. xcotx;4. ; 5. ; 6. ;7. ; 8. ; 9. ;10. ; 11. ; 12.;13. ; 14. ; .解：1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. 8.令，则，当时，.9. （利用了第8题结论）；10. ；11. ；12. ；13.令，则，当，；14.令，则，当，.习题2-61. 证明： 若当xx0时，(x)0,(x)0,且(x)0，则当xx时，(x)(x)的充要条件是.证：先证充分性. 若，则0,即，即.也即，所以当时，. 再证必要性： 若当时，则，所以. 综上所述，当xx0时，(x)(x)的充要条件是.2. 若(x)0，(x)=0且存在，证明(x)=0.证：即 .3. 证明： 若当x0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)g(x)o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x0时，tanxsinx是x的几阶无穷小量.证: 当x0时, f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)于是: 当x0时, ,而当x0时, ,由前面所证的结论知, ,所以,当x0时,是x的3阶无穷小量.4. 利用等价无穷小量求下列极限：(1) (b0)； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) (ab)；(7) ； (8) 设100,求f(x).解 (8)由,及知必有,即 ,所以 .习题2-7.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：(1) f(x)= (2) f(x)解: (1) f(x)在x=0处右连续,又 f(x)在x=1处连续.又 f(x)在x=2处连续.又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f(x)在0,2上连续.图形如下:图2-1(2) f(x)在x=1处连续.又 故 f(x)在x=-1处间断, x=-1是跳跃间断点.又f(x)在显然连续.综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:图2-22. 说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?略.3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：(1) f(x)= ； (2) f(x)；(3) f(x)= ； (4) f(x)= ；(5) f(x)= .解: (1)由得x=-1, x=-2 x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.(2)由sinx=0得,k为整数. x=0是跳跃间断点.(4)由x2-4=0得x=2,x=-2. x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.(5) 在x=0无定义故x=0是f(x)的可去间断点.5.适当选择a值，使函数f(x)= 在点x=0处连续.解: f(0)=a,要f(x)在x=0处连续,必须.即a=1.6.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.解: 所以, f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.7. 求下列极限：(1) ； (2) ；(3) ln(x-1); (4) arcsin；(5) (lnx)x.解: 习题2-81. 证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.证: 令,则在1,2上连续,且 , 由零点存在定理知至少存在一点使得.即 ,即方程至少有一个介于1和2之间的根.2. 证明方程ln（ex）-2x=0至少有一个小于1的正根.证: 令,则在上连续,因而在0,1上连续,且 由零点存在定理知至少存在一点使得.即方程至少有一个小于1的正根.3. 设f(x)C（-，+），且f(x)=A, f(x)=B, AB0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x0（,），使得f(x0).证: 由AB0,B0由,及函数极限的保号性知,使当,有,使当时,有.现取,则,则,且,由题设知在上连续,由零点存在