高数极限习题

精选文库第二章 导数与微分典型例题分析客观题 例 1 设在点可导,为常数,则( ) 答案 解 例2（89303）设在的某个邻域内有定义,则在处可导的一个充分条件是( ) 存在 存在 存在 存在 答案 解题思路 (1) 对于答案，不妨设，当时，则有存在，这只表明在处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故不对.(2) 对于答案与因所给极限式子中不含点处的函数值，因此与导数概念不相符和.例如，若取则与两个极限均存在，其值为零，但，从而在处不连续，因而不可导，这就说明与成立并不能保证存在，从而与也不对. (3) 记,则与是等价的,于是所以条件是存在的一个充分必要条件. 例3(00103)设则在点可导的充要条件为( ) 存在 存在 存在 存在 答案 解题思路 (1) 当时, .所以如果存在,则必有若记,当时,所以于是这就是说由存在能推出存在. 但是由于当时,恒有,而不是,因此存在只能推出存在,而不能推出存在. (2) 当时, ,于是 由于当时, 既能取正值,又能取负值,所以极限存在与存在是互相等价的.因而极限存在与存在互相等价.(3) 当时, 用洛比塔法则可以证明,所以由于,于是由极限存在未必推出也存在,因而未必存在.(4)在点可导一定有存在,但存在不一定在点可导. 例 4 (98203) 函数有( )个不可导点 答案 解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点考察导数的存在性. 解 将写成分段函数:(1) 在附近,写成分段函数:容易得到由于,所以不存在.(2) 在附近,写成分段函数:由于,所以不存在.(3) 在附近,写成分段函数:由于,所以存在. 综合上述分析,有两个不可导的点. 例5 (95103) 设具有一阶连续导数,则是在处可导的( ) 必要但非充分条件 充分但非必要条件 充分且必要条件 既非充分也非必要条件 答案 分析 从在的导数定义着手.将解 于是推知的充分必要条件是 例6 (92103) 设函数,则使存在的最高阶数. 答案 解题思路 应先去掉中的绝对值,将改写为分段函数 解 由得且 又,所以存在.所以存在.即.因而使存在的最高阶数是2. 例7 存在的最高阶导数的阶数等于( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 解题思路 注意,所以只需考察在点的情况. 例8(96203)设在区间内有定义，若当时，恒有，则必是的( ) ， 答案 解 由题目条件易知,因为所以由夹逼定理于是. 例9 (87103)设 则为( ) 答案 解题思路 因为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义， 又由于是型未定式,可用洛必达法则求极限.解 当时,与是等价无穷小,所以当时,与是等价无穷小.因而 例10 (88103) 设可导且,则时,在处的微分与比较是( )的无穷小. 等价 同阶 低阶 高阶 答案 解题思路 根据在处的微分的定义:. 解 ,可知与是同阶的无穷小. 例11 (87304) 函数在处( ) 连续,且可导 连续,不可导 不连续 不仅可导,导数也连续 答案 解题思路 一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步: (1) 讨论连续性; (2) 讨论可导性. 解 (1) 讨论函数在点处的连续性 由于,可知函数在点处是连续的. (2) 讨论函数在点处的可导性 由于不存在,所以,函数在点 处不可导. 例12 设 在点可导,但是导数在点不连续,则必须满足( ) 答案 解题思路 (1) 当时,下述极限不存在:因此不存在.当时,所以.这就是说,只有当时, 才存在,所以选项可以被排除. (2) 当时当且仅当,即时,所以当且仅当时, 在点可导,但是在点不连续.例13 (95403)设可导，且满足条件则曲线在处的切线斜率为( ) 答案 解 记,则有 例14 设,则( ) 答案 解题思路 求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数., 例17 (90103) 设函数有任意阶导数,且,则. 答案 解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数. 解 由有任意阶导数且,可知,依此由归纳法可知 注意 (1) 当时虽然也正确,但当就不正确了,所以将排除之; (2) 在求导数时,可将函数看成是由与复合而成的,则根据复合函数的求导法则,故.(初学者可能会这样做:,后面丢掉一个因子. 例18 (91303) 若曲线和在点处相切，其中是常数,则( ) 答案 解题思路 两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等. 解 曲线在点处的斜率是 另一条曲线是由隐函数确定,该曲线在点处的斜率可以由隐函数求导数得到:对于方程两边求导得到,解出得到此曲线在点处的斜率为 令,立即得到.再将代入中得出 例19设定义在，且都在处连续，若，则( ), 答案 解题思路 分析函数的表达式,并运用在处连续这一关键条件. 解 既然在处连续,于是必有,于是必有.于是又有. 例 20 (99103) 设 其中是有界函数,则在处( ) 极限不存在 极限存在,但不连续 连续,但不可导 可导 答案 解题思路 若能首先判定在处可导,则、均可被排除. 解 () （是有界函数）由于在点的左导数等于右导数,因而 在处可导. 例21 设,则( ) 答案 例 22 设是可导函数,则( ) 答案 解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性. 解 由于,所以因此为偶函数. 例23 设,则( ) 答案 解题思路 运用复合函数微分法 例 24 设存在,则( ) 答案 解 由可以知道当时,有(参阅第一章1.5的例2)当时,与是等价无穷小,与是等价无穷小.于是又因为存在,所以此式又推出. 例 25 设 在点可导,则( ) 答案 解题思路 先考察函数在点左