2018年奥林匹克数学竞赛第20讲 平行四边形

奥林匹克数学竞赛第20讲平行四边形考点方法破译理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明理解三角形中位线定理并会应用了解平行四边形是中心对称图形经典考题赏析【例1】（莆田）已知如图在ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F观察图形并找出一对全等三角形，请加以证明；在中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到【解】DOEBOF证明四边形ABCD是平行四边形ABCDMBONDO,BMODNO，又BODOBOMDON（AAS）ABDCDB证明四边形ABCD是平行四边形ADCB，ABCD，又BDDBABDCDB（SSS）绕点O旋转180后得到或以点O为中心作对称变换得到【变式题组】01（吉林省长春）如图，在ABCD中，BAD32分别以BC、CD为边向外作BCE和DCF，使BEBC，DFDC，EBCCDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF求证ABEFDA；当AEAF时，求EBH的度数02（沈阳）如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BEDF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AGCH，连接GE、EH、HF、FG求证四边形GEHF是平行四边形02（长春）如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使CDBC点E在边AC上，以CD、CE为邻边作CDFE过点C作CGAB交EF于点G，连接BG、DEACB与DCG有怎样的数量关系请说明理由；求证BCGDCE【例2】如图，ABCD的周长为20，BEAD，BFCD，BE2，BF3则ABCD的面积为【解法指导】在三角形或平行四边形中，若题目中有高，常利用面积等式建立方程，从而求解【解】ABCD的周长为20，ADDC10，设ADX,则DC10XSABCDADBEDCBF2X3（10X）X6SABCDADBE6212【变式题组】01如图，ABCD中，BEAD，BFCD，EBF60,AE3,DF2求EC、EF的长02（上海竞赛）在ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM1,BN2，MBN60求BC的长03（北京初二年级竞赛试题）平行四边形ABCD中,ADA,CDB,过点B分别作AD边上的高HA和CD边上的高HB,已知HAA,HBB,对角线AC20厘米,求平行四边形ABCD的面积【例3】（南昌）如图在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（1,0）,C（1,0）三点若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；选择中符合条件的一点D，求直线BD的解析式【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性【解】D1（2，1）D2（2，1）D3（0，1）若选择D3（0，1），可求得解析式YX1【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性【解】D1（2，1）D2（2，1）D3（0，1）若选择D3（0，1），可求得解析式YX1【变式题组】01如图，直线L1Y3与Y轴交于点A，与直线L2交于X轴上同一点B，直线L2X交Y轴于点C，且点C与点A关于X轴对称求直线L2的解析式；设D（0，1），平行于Y轴的直线XT分别交直线L1和L2于点E、F是否存在T的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出T的值；若不存在，请说明理由02如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），P是Y轴上一动点，在直线YX21上是否存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由03（四川资阳）若一次函数Y2X1和反比例函数Y的图象都经过点（1，1）XK2RPDCBAEF求反比例函数的解析式；已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；利用的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标【例4】（齐齐哈尔）如图1在四边形ABCD中,ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则BMECNE（不需证明）温馨提示在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HEHF，从而12，再利用平行线性质，可证得BMECNE问题一如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论问题二如图3，在ABC中，ACAB,D点在AC上，ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若EFC60,连接GD,判断AGD的形状并证明【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移【解】OMN为等腰三角形AGD为含有30的直角三角形证明连接BD，取BD的中点M，连接FM、EMAFFD，BMMDMFAB同理/21MECDABCDMFME，/21又2160，MEF为等边三角形，4360，560AGF为等边三角形FGFDADG30AGD为含有30的直角三角形【变式题组】01（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关02如图，在ABC中，M是BC的中点，AD是A的平分线，BDAD于D,AB12,AC22,则MD的长为（）A3B4C5D6【例5】（浙江竞赛）如图1，在ABC中，C90,点M在BC上，且BMAC,点N在AC上，且ANMC,AM与BN相交于点P,求证BPM45【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题【解】方法一、如图2，过M作MEAN,连接BE,EN,则得AMEN,MEBC,AMEN在AMC和BEM中，ACBN,BNEC90,MEMCAMCBEMBEAMEN,3412,14902390,BEN为等腰直角三角形，BNE45,BPM45方法2如图3，过B作BFAN,连接AF,FM也可证得【变式题组】01如图，在等腰ABC中，ABAC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若ADBCCEDE,求BAC的度数演练巩固反馈提高01（东营）如图，ABCD中，已知AD8CM,AB6CM,DE平分ADC交BC边于点E,则BE等于（）A2CMB4CMC6CMD8CM02桂林）如图，ABCD中，AC,BD为对角线，BC6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A3B6C12D2403威海）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,ABBF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（）AADBCBCDBFCACDFCDE04日照）如图，在周长为20CM的ABCD中，ABAD,AC,BD相交于点O,OEBD交AD于点E,则ABE的周长为（）A4CMB6CMC8CMD10CM05（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有ABEFDC,BCGHAD,那么下列说法错误的是A红花，绿花种植面积一定相等B紫花，橙花种植面积一定相等C红花，蓝花种植面积一定相等D蓝花，黄花种植面积一定相等06（陕西）如图，L1L2BECF,BAL1DCL2,下面四个结论中ABDCBECFSADESDCFSABCDSBCFE,其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个07成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件ABCDABCDBCADBCAD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A6种B5种C4种D3种08（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，ADBC,PEF180,则PFE的度数为_09如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为_10如图，在RTABC中，BAC90,AB3,AC4,将ABC沿直线BC向右平移25个单位得到DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是_四边形ABED是平行四边；AGDCGEADE为等腰三角形AC平分EAD11长春）如图ABCD中，E是BC边上一点，且ABAE11求证ABCEAD12若AE平分DAB,EAC25,求AED的度数12荆州如图，ABCD内一点E满足EDAD于D,且EBCEDC,ECB45,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明13已知，如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE求证ADEDFC过点E作EHDC交DB于点G,交BC于点H,连接AH,求AHE的度数培优升级奥赛检测01铁岭ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B,C重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE如图1所示，当点D在线段BC上时，求证AEBADC探究四边形BCGE是怎样特殊四边形并说明理由如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出1中的两个结论是否成立02山东省初中数学竞赛试题如图，ABC中，AB3,AC4,BC5,ABD,ACEBCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积03武汉如图，ABCD中，BC2AB,CEAB,E为垂足，F为AD的中点，若AEF54,求B的度数04南昌市八年级竞赛试题四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线EF,交AD于E,交BC于F,若PEPF,且APAECPCF,求证四边形ABCD为平行四边形05荆州市八年级数学联赛试题如图，已知在四边形ABCD中，ABAD,ABAD连接AC,过点A作AEAC且使AEAC连接BE,过点A作AHCD,垂足为H,且交BE于点F,求证BFEF06在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东，小明交流题目如图1，已知ABC,ACB90,ABC45,分别以AB,BC为边向外作ABD与BCE,且DADB,EBEC,ADBBEC90,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系小慧同学的思路是过点D作DGAB于点G,构造全等三角形，通