高中数学第一章数列1.1数列的有关概念素材北师大版必修5

数列的有关概念按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成简记为，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1,2,3，4,5,6,7从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8,7,6,5,4,3,2,1,从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；各项相等的数列叫做常数列。如：2,2,2,2,2,2,2,2,2,。通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。递推公式：如果数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数=f(n)。如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是 =f(n).表示方法如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如如果数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如等差数列【定义】一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。【缩写】等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。【等差中项】由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。有关系：A（ab）/2【通项公式】an=a1+(n-1)dan=Sn-S(n-1) (n2)an=kn+b(k,b为常数)【前n项和】Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n【性质】且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k成等差数列，等等。和（首项末项）项数2项数（末项-首项）公差1首项=2和项数-末项末项=2和项数-首项设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。【应用】日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)0。等比数列【定义】一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。【缩写】等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。【等比中项】如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。有关系：G2ab；G(ab)(1/2)注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。【通项公式】an=a1q(n-1)an=Sn-S(n-1) (n2)【前n项和】当q1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q1)【性质】任意两项am，an的关系为an=amq(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n（4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。性质：若 m、n、p、qN*，且mn=pq，则aman=apaq；在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G2=ab（G0）”.(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-qn)/(1-q)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中An表示A的n次方。【应用】等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式-复利。即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q（n1）若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-qn)/(1-q)=(a1-a1qn)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即A-Aqn)(前提：q不等于 1)任意两项am，an的关系为an=amq(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n（4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。一般数列的通项求法一般有：an=Sn-Sn-1 （n2）累和法（an-an-1=. an-1 - an-2=. a2-a1=.将以上各项相加可得an）。逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。特别的：在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列不动点法（常用于分式的通项递推关系）不动点法求数列通项对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求特殊数列的通项的写法1,2,3,4,5,6,7,8. -an=n1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.-an=1/n2，4，6，8，10，12，14.-an=2n1,3,5,7,9,11,13,15.-an=2n-1-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)n1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)(n+1)1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1.-an=/21,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0.-an=cos(n-1)/2=sinn/29,99,999,9999,99999,. -an=（10n)-11,11,111,1111,11111.-an=/9衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn.-an=*n/9,n为1-9的整数1，4，9，16，25，36，49，.-an=n21,2,4,8,16,32.-an=2(n-1)数列前N项和公式的求法(一)1.等差数列:通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数an=ak+(n-k)d ak为第k项数若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/22.等差数列前n项和:设等差数列的前n项和为Sn即 Sn=a1+a2+.+an;那么 Sn=na1+n(n-1)d/2=dn2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法(二)1.等比数列:通项公式 an=a1*q(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项an=a1*q(n-1),am=a1*q(m-1)则an/am=q(n-m)(1)an=am*q(n-m)(2)a,G,b 若构成等比中项,则G2=ab (a,b,G不等于0)(3)若m+n=p+q 则 aman=apaq2.等比数列前n项和设 a1,a2,a3.an构成等比数列前n项和Sn=a1+a2+a3.anSn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);注: q不等于1;Sn=na1 注:q=1求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法著名的数列等差数列典型例题：1/(1x(1+1)+1/(2x(2+1)+1/(3x(3+1)+1/(4x(4+1)+1/(5x(5+1).1/(n(n+1) 求Sn解析：Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(