2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（下）4月联考数学试卷含答案

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（下）4月联考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1（5分）设集合 1，2， 2，则 2（5分）已知复数满足为虚数单位），则的模为3（5分）根据如图所示的伪代码，可这输出的4（5分）函数的单调减区间为5（5分）从0、2中选一个数字从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中无重复的个数为 6（5分）若函数的图象在处的切线与两坐标轴分别交于点，则线段的长为7（5分）已知各项均不相等的数列为等差数列，且，恰为等比数列的前三项若，则8（5分）在中，则9（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、，则有 10（5分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域的边界为，河岸线所在直线方程为，假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为11（5分）在中，与交于点若，则的值为12（5分）已知，且，则的最大值为13（5分）已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的一点，直线，倾斜角分别为，则 14（5分）已知函数，曲线上总存在两点，使曲线上在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为棱的中点，平面（1）求证：平面；（2）若四边形是矩形且，求证：平面16（14分）在中，内角，所对的边分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值17（14分）如图，圆是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中，两点在上，恰是一个正方形的四个顶点根据规划要求，在，四点处安装四盏照明设备，从圆心点出发，在地下铺设4条到，四点线路，（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路，总长度的最小值18（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、设直线倾斜角的余弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称（1）求椭圆的离心率；（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（3）若圆的面积为，求圆的方程19（16分）已知函数，（1）当，时，设，且函数在上单调递增求实数的取值范围；设，当实数取最小值时，求函数的极小值（2）当，时，证明：函数有两个零点20（16分）已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-2：矩阵与变换21（10分）设，若直线在矩阵对应的变换作用下，得到的直线为求实数，的值选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积选修4-5：不等式选讲23已知实数，满足，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤24（10分）由数字0，1，2，3，4组成一个五位数（1）若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；（2）若的各数位上数字可以重复，记随机变量表示各数位上数字是0的个数，求的分布列及数学期望25（10分）如图，是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点，其中，过点作轴的垂线交抛物线的准线于点，直线交抛物线于点，（1）求的值；（2）求四边形的面积的最小值2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（下）4月联考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1（5分）设集合 1，2， 2，则，2，3，【解答】解：集合 1，2， 2，则，2，3，故答案为：，2，3，2（5分）已知复数满足为虚数单位），则的模为【解答】解：复数满足为虚数单位），故答案为：3（5分）根据如图所示的伪代码，可这输出的21【解答】解：模拟伪代码的运行过程知，该程序运行如下；，第1次执行循环体，；第2次执行循环体，；第3次执行循环体，；第4次执行循环体，；终止循环，输出的值为21故答案为：214（5分）函数的单调减区间为【解答】解：函数的定义域，当时，此时函数单调递减，故答案为：5（5分）从0、2中选一个数字从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中无重复的个数为30【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有种；从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有种；故共有种故答案为：306（5分）若函数的图象在处的切线与两坐标轴分别交于点，则线段的长为【解答】解：，所以（1），（1），所以切线为：，即令得，故；令，得，故所以故答案为：7（5分）已知各项均不相等的数列为等差数列，且，恰为等比数列的前三项若，则94【解答】解：各项均不相等的数列为等差数列，设公差为，由，恰为等比数列的前三项，可得，即，化为，等比数列的公比设为，则，由，可得，即，解得，故答案为：948（5分）在中，则【解答】解：，由正弦定理，得，不妨设，则，故答案为：9（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、，则有【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：，球的表面积为：所以圆柱的表面积与球的表面积之比为故答案为：10（5分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域的边界为，河岸线所在直线方程为，假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为【解答】解：设点与点关于直线对称，连结，则即为将军行走的最短路程，设，则，解得，点，将军行走的最短路程为：故答案为：11（5分）在中，与交于点若，则的值为【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，直线的方程为，直线的方程为，联立解得，即，故答案为：12（5分）已知，且，则的最大值为【解答】解，因为；令；原不等式转化为：解得；所以：故答案为：13（5分）已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的一点，直线，倾斜角分别为，则【解答】解：由题意，设，则，椭圆的离心率，故答案为：14（5分）已知函数，曲线上总存在两点，使曲线上在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为【解答】解：，由题意可得，且即有，化为，而，化为对，都成立，则的取值范围为故答案为：二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为棱的中点，平面（1）求证：平面；（2）若四边形是矩形且，求证：平面【解答】证明：（1）连接交于，连结，因为是平行四边形，所以是的中点，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面（2）因为且是的中点，所以，又因为平面，平面，所以，因为四边形是矩形，所以，因为，平面，且，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面且，所以平面16（14分）在中，内角，所对的边分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解答】（本小题满分14分）解：（1）在中，因为，所以因为，所以，即，所以，由正弦定理得，所以：（2）因为，所以又，所以，所以因为，即，所以，所以17（14分）如图，圆是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中，两点在上，恰是一个正方形的四个顶点根据规划要求，在，四点处安装四盏照明设备，从圆心点出发，在地下铺设4条到，四点线路，（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路，总长度的最小值【解答】解：（1）连接，正方形的面积为100，又，为正三角形，则，而圆的面积为，扇形得面积为，又三角形的面积为弓形面积为，则广场面积为（平方米）；（2）过作，垂足为，过作（或其延长线），垂足为，设，则，当时，铺设的4条线路，总长度的最小值为（米18（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、设直线倾斜角的余弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称（1）求椭圆的离心率；（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（3）若圆的面积为，求圆的方程【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，因为直线的倾斜角的余弦值为，所以，于是，即，所以椭圆的离心率（2）由可设，则，于是的方程为：，故的中点到的距离，又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与以为直径的圆相切因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称，所以直线与圆相切（3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而，设的中点关于直线 的对称点为，则解得所以，圆的方程为19（16分）已知函数，（1）当，时，设，且函数在上单调递增求实数的取值范围；设，当实数取最小值时，求函数的极小值（2）当，时，证明：函数有两个零点【解答】解：（1），得，由题意知在上恒成立， 在上恒成立令，则，令，得，令得，在上单调递增，在单调递减，即实数的取值范围是，当实数取最小值时，令，解得或当或时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，极小值为（2）当，时，函数，令，解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，令（b），则（b），（b）在上单调递减，（b），即，（b）令（b），则（b），令（b），则（b），因为，（b），（b）在上单调递增，（b）（b）在上单调递增，所以（b），即（b）又当时，所以由零点存在性定理知，存在，使得又，有两个零点20（16分）已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列【解答】解：（1）由，可得数列是递增数列，所以，（2分）（2）由，可得，当，当，即又，所以，当时，所以，当时，令，则，即所以综上所述，当时，（3）证明：设等差数列的公差为，则，由题意：，对任意都成立，即，所以数列是递增数列所以，所以，所以数列是公差为的等差数列；（10分）当时，对任意都成立，进而，所以数列是递减数列，所以，所以数列是公差为的等差数列；（14分）当时，因为与中至少有一个为 0，所以二者都为0，进而数列为常数列，综上所述，数列为等差数列（16分）【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-2：矩阵与变换21（10分）设，若直线在矩阵对应的变换作用下，得到的直线为求实数，的值【解答】解：方法一：在直线取，由，则，则，在矩阵对应的变换作用下，由题意可知：，在直线上，解得：，实数，的值2，13方法二：设直线上任意一点，点在矩阵对应的变换作用下得到，则，由，在直线即，即，在，则，解得：，实数，的值2，13选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积【解答】解：由题意，线段的中点坐标为，设点为直线上任意一点，在直角三角形中，所以，的极坐标方程为，（6分）令，得，即（8分）所以，的面积为：（10分）选修4-5：不等式选讲23已知实数，满足，求证：【解答】证明：由，可得，要证，即证，由于，即证，即为，显然成立故原不等式成立【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤24（10分）由数字0，1，2，3，4组成一个五位数（1）若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；（2）若的各数位上数字可以重复，记随机变量表示各数位上数字是0的个数，求的分布列及数学期望【解答】解：（1）由0，1，2，3，4组成的五位数共有（个，其中是偶数的，第一类，个位是0，有（个；第二类，个位是2或4，有（个，所以是偶数的概率为（2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是，且相互独立，所以，所以，1，2，3，4所以的概率分布列为01234 25（10分）如图，是抛物线的