正余弦定理知识点及题型归纳

266班6组 解三角形1 正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC二余弦定理：1. a2 = b2 + c2 - 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 - 2accosB 3. c2 = a2 + b2 - 2abcosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab) 2. cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) 3. cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc）3 余弦定理和正弦定理的面积公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断三角形的形状有两种途径：（1） 将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2） 将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解 三解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角： 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=23，b=6，A=45，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和边a.例四：在ABC中，若B=30, AB=2, AC=2, 则ABC的面积是例五.判断三角形的形状（1）正弦定理判断在ABC中，若a2tanBb2tanA，试判断ABC的形状（2）余弦定理判断在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状例六 判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数：（1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度（3）a=9,b=10,A=60度（4）c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题1、中，BC3，则的周长为（ ）A B C D2、 在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值3、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.ab C. ab D.a与b的大小关系不能确定4、在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （B） （C） （D）5、在中，a=15,b=10,A=60，则=A B C D 6、在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。7、在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.8、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 9、中，所对的边分别为，,.（1）求； （2）若,求. 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状1、在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形2、18.若的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1、在中，若，则的面积S_四、求值问题1、在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值2、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。3、 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：图1ABCD（一.）测量问题1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题西北南东ABC3015图22、某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？图3ABC北4515（三.）追击问题