中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析).doc

中考中的数学思想方法-分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。二、例题导解：1、（xx年上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .这是一道比较基础却很典型的分类讨论题，关键是要注意题设中的“两条边长”。解：当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于 10 =5当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于 8=42、（xx年北京市中考题）在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且，则BCA的度数为_。解：如图1，当ABC是锐角三角形时，BCA=90-25=65如图2，当ABC是钝角三角形时，BCA=90+25=115图1 图2这是一道非常容易出错的题目，很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解，一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。3、（xx年济南市中考题）如图1，已知中，过点作，且，连接交于点（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作A，试判断与A是否相切，并说明理由；ABCPEEABCP图1图2（3）如图2，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作A；以点为圆心，为半径作C若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A和C相切，且使点在A的内部，点在A的外部，求和的变化范围（1）在中， ， （2）与A相切在中， 又，与A相切 （3）因为，所以的变化范围为 当A与C外切时，所以的变化范围为；当A与C内切时，所以的变化范围为这是xx年济南市的中考数学压轴题，其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论，须分内切和外切两种情况加以讨论，只要解题时注意读题，“相切”两字是正确解题的关键字。yxPOT114、（xx年上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中，已知点P（2，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点.(1) 求点P关于原点的对称点的坐标；(2) 当t取何值时，TO是等腰三角形？解：（1）点P关于原点的对称点的坐标为（2，1）. （2）. （a）动点T在原点左侧.当时，是等腰三角形.点. （b）动点T在原点右侧.此题涉及了两个层次的分类讨论，点的位置的分类与等腰三角形的分类，请注意体会。当时，是等腰三角形. 得：. 当时，是等腰三角形. 得：点. 当时，是等腰三角形.得：点. 综上所述，符合条件的t的值为.5、如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB解析式为：y=x+ （2）方法一：设点坐标为（x，x+），那么ODx，CDx+ 由题意： ，解得（舍去） （，）方法二：,， 由OA=OB，得BAO30，AD=CDCDAD可得CD AD=，ODC（，） （）当OBPRt时，如图 若BOPOBA，则BOPBAO=30，BP=OB=3，（3，） 若BPOOBA，则BPOBAO=30,OP=OB=1（1，）当OPBRt时 过点P作OPBC于点P(如图)，此时PBOOBA，BOPBAO30过点P作PMOA于点M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM（，） 方法二：设（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABO=x+x，解得x此时，（，） 若POBOBA(如图)，则OBP=BAO30，POM30 PMOM（，）（由对称性也可得到点的坐标）当OPBRt时，点P在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：