四川省泸州市2020届高三数学二诊考试试题 理（含解析）

四川省泸州市2020届高三数学二诊考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B=x|-3x3,又AB=1故选：A【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.2.=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.已知，则tan2=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.【详解】由正切函数倍角公式： 故选B【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题.4.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx1xex3xe，xe推不出x3，x3是lnx1成立的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确考点：三视图6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形设直角三角形中一个锐角的正切值为3在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.7.在ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C. D. 5【答案】C【解析】解：在中，平方整理可得，在方向上的投影是.点晴:平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决8.设，则的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【详解】解：函数f（x）asinx+cosx（a为常数，xR）的图象关于直线x对称，f（0）f（），即，a，所以函数g（x）sinx+acosxsinx+cosxsin（x+），当x时，g（x）-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x对称，故A错误，当x时，g（x）1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x对称，故B错误，当x时，g（x）0，故C错误，当x时，g（x）0，故D正确，故选：D【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案【详解】解：由于ABBCAC3，则ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，ABC的外接圆直径为，由于SA底面ABC，所以，ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥SABC的外接球的表面积为4R2421故选：C【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|2a，则|AF2|AF1|+2a4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a，|AB|BF2|，可得|AF1|2a，则|AF2|AF1|+2a4a，cosBF1F2，化简可得c410a2c2+13a40，由e可得e410e2+130，解得e25+2，可得e，故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）（exa）（x+a2）0，对a分类讨论，可知a0时不合题意，当a0时， f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为a2lna的根的个数求解【详解】解：f（x）（exa）（x+a2）0，当a0时，f（x）（exa）（x+a2）0化为exx0，则x0，与xR矛盾；当a0时，exa0，则x+a20，得xa2，与xR矛盾；当a0时，令f（x）0，得xlna或xa2，要使f（x）0恒成立，则a2lna，作出函数g（a）a2与h（a）lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个故选：B【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中x2的系数为_.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，所以的故答案为考点：二项式定理14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z2x-y可得y2x+z，则z表示直线y2x-z在y轴上截距的相反数，截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域， 由z2x-y可得y2x-z，则z表示直线y2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线2x-y0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过的交点（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4故答案为：4【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值【详解】解： 抛物线y24x，F（1，0），如图：设p在准线上的射影A，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d|PF|+|PA|AF|故答案为：【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16.已知锐角的外接圆的半径为1，则的面积的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b2sinB，c2sin（B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求SABCsin（2B）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解【详解】解：锐角ABC的外接圆的半径为1，A，由正弦定理可得：，可得：b2sinB，c2sin（B），SABCbcsinA2sinB2sin（B）sinB（cosB+sinB）sin（2B）+，B，C为锐角，可得：B，2B，可得：sin（2B）（，1，SABCsin（2B）+（1，故答案为：（1，【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列an的前n项和Sn满足2an=2+Sn（1）求证：数列an是等比数列；（2）设bn=log2a2n+1，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和【详解】（1）证明：数列an的前n项和Sn满足2an=2+Sn，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n2时，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，相减可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，即an=2an-1，可得数列an是首项、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得an=2n，bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列bn的前n项和Tn=（3+2n+1）n=n2+2n【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：购买意愿市民年龄不愿意购买该款电冰箱愿意购买该款电冰箱总计40岁以上60080040岁以下400总计800（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间0，4）的频率为0.20，在区间4，8）内的频率为0.36可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论（3）使用时间不低于4年的频率电冰箱的台数为XB（3，），则可得出期望【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间0，4）的频率为0.0540.20，在区间4，8）内的频率0.0940.36该款电冰箱使用时间的中位数0.054+0.09（x4）0.5，解得x（2）依题意，完善表中的数据如下所示：愿意购买该款电视机不愿意购买该款电视机总计40岁以上60020080040岁以下200400600总计8006001400故K2243.0610.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关（3）使用时间不低于4年的频率140.05电冰箱的台数为XB（3，），X的期望E（X）3【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出ACDO，ACBO，从而AC平面BOD，由此能证明BDAC（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，ABBCCDDA，ABC，ADC均为等腰三角形，ACDO，ACBO，DOBOO，AC平面BOD，BD平面BOD，BDAC解：（2）CAAB，ABBCCDDA，ODOB，OD2+OB2BD2，DOB是二面角DACB的平面角，平面DAC平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设A（0，1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），（，1，0）， ，（0，1，），设平面ABD的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1），设直线BC与平面ABD所成角为则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sin.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程，（2）由直线OP：yk1x，OQ：yk2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y0220的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出OPQ的面积S|x1x2|k1k2|，代值计算即可求出【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，b，解得a26，b23，故椭圆C的方程为.（2）直线OP：yk1x，OQ：yk2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：dr，可得，即有（x022）k122x0y0k1+y0220，同理：直线OQ：yk2x与圆M相切，可得（x022）k222x0y0k2+y0220，即k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y0220的两个不等的实根，可得k1k2，点R（x0，y0）在椭圆C上，k1k2，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），|OP|x1|点Q到直线OP的距离d，|x1|，|x2|，OPQ的面积S|x1x2|k1k2| ，【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题21.已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y0，求得横坐标x，由题意可得x0，解不等式可得所求范围；（2）求得f（x）ex+a设g（x）f（x）ex+a判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证【详解】解：（1）函数f（x）lnxex+a的导数为f（x）ex+a曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1e1+a，切点为（1，e1+a），可得切线方程为y+e1+a（1e1+a）（x1），可令y0可得x，由题意可得0，可得e1+a1，解得a1；（2）证明：f（x）ex+a设g（x）f（x）ex+a可得g（x）（+ex+a），当x0时，g（x）0，g（x）递减；由a1，ex+aex若ex，g（x）ex0，当0x1时，ex+ae1+a若e1+a，即xe1a，故当0xe1a时，g（x）0，即g（x）f（x）有零点x0，当0xx0时，f（x）0，f（x）递增；当xx0时，f（x）0，f（x）递减，可得f（x）f（x0），又f（x0）lnx0ex0+a，又ex0+a，可得f（x0）lnx0，在x00递增，又alnx0（lnx0+x0），a1（lnx0+x0）1（ln+），所以lnx0+x0ln+，由于lnx0+x0递增，可得0x0，故f（x）f（x0）f（）1e【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题22.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线