北京市师大附中2020学年高一数学下学期期中试题

北京师大附中2020学年下学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 在ABC中，D是边BC的中点，则A. B. C. D. 2. 在ABC中，AB3，AC4，A150，则ABC的面积为A. 3B. C. 6D. 3. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间90，100）中的学生人数是A. 60 B. 55 C. 45 D. 504. 已知点A（1，2），B（3，7），向量a，则A. ，且与a方向相同B. ，且与a方向相同C. ，且与a方向相反D. ，且与a方向相反5. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为。若，则角B的大小为A. B. C. 或D. 或6. 已知在ABC中，则A. B. C. D. 7. 抛掷两颗骰子，点数之积为大于15的偶数的概率是A. B. C. D. 8. 从高一年级随机选取100名学生，对他们的期末考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示。若用分别表示这100名学生语文，数学成绩的及格率，用分别表示这100名学生语文、数学成绩的方差，则下列结论正确的是A. B. C. D. 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。9. 在ABC中，角A，B，C所对边分别为，且，则C_。10. 下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为_，方差为_。11. 已知正方形ABCD的边长为1，设，则_。12. 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_。13. 设向量，则满足a、b的夹角为的一个向量b的坐标可以是_。14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，设AOB，则OA_（用表示）；若，则_。三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，设。（）若，求b的值；（）求tanC的值。16. 已知向量。（）若a，求实数t的值；（）若向量，且，求的最小值。17. 某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表。组号分组频率第1组160，165）0.05第2组0.35第3组0.3第4组0.2第5组0.1合计1.00（）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；（）在（）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率； （）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由。18. 已知在锐角ABC中，（）求角B；（）若，求ABC面积的最大值。19. 设向量（）若，求x 的值；（）设函数，求的最值。20. 已知集合，对于，B（，定义A与B的差为，A与B之间的距离为。（）若，求；（）证明：对任意，有（i），且；（ii）三个数中至少有一个是偶数；（）对于，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）。【试题答案】一、选择题题号12345678答案CADDCBAC二、填空题9. ；10. 91，4.7；11. 212. ；13. 14. ；。三、解答题15.（）解：因为，由正弦定理，得。由余弦定理及，得，所以，解得。（）解：由，得，所以，即，所以，所以。16.（）1；（）。17. 解：（）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：第3组：3人；第4组：2人；第5组：1人。所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人。（）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）。共有15种。其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种可能。所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8。答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8。（）第3组18.（） （）。19. （）因为，所以，所以，所以，又因为，所以（）当时，所以当时，即时，取最大值1，的最大值为。当时，即时，的最小值为0。20. 解：（）因为，所以。（）（i）设，因为，故，n），即。又，n。当