2020届高三数学二轮复习 专题一 第5讲 导数及其应用教案

第5讲导数及其应用自主学习导引真题感悟1(2020辽宁)函数yx2ln x的单调递减区间为A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0x1，所以函数的单调递减区间为(0,1答案B2(2020安徽)设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a、b的值解析(1)f(x)aex，当f(x)0，即xln a时，f(x)在(ln a，)上递增；当f(x)0，即xln a时，f(x)在(，ln a)上递减当0a1时，ln a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(ln a)2b；当a1时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函数可得2b3，即b，故a，b.考题分析在每年的高考命题中都有导数应用的解答题出现，是高考试题的压轴题，难度较大，主要考查函数的单调性、极值、最值及根据单调性、极值、最值等确定参数的值或范围，解题的方法也是灵活多样，但导数的工具性都会有很突出的体现网络构建高频考点突破考点一：利用导数研究函数的单调性【例1】(2020临沂模拟)已知函数f(x)，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在原点处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间审题导引(1)直接根据导数的几何意义解决；(2)根据函数的结构特点，函数f(x)的导数应是一个分式，但分式的分母符号确定，其分子是一个多项式，所以讨论函数的单调性等价于讨论这个分子多项式的符号规范解答(1)当a1时，f(x)，f(x)2.由f(0)2，得曲线yf(x)在原点处的切线方程是2xy0.(2)f(x)2.当a0时，f(x).所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减当a0，f(x)2a.当a0时，令f(x)0，得x1a，x2，f(x)与f(x)的情况如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)故f(x)的单调减区间是(，a)，；单调增区间是.当a0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)所以f(x)的单调增区间是，(a，)；单调减区间是.综上，a0时，f(x)在(，a)，单调递减；在单调递增a0时，f(x)在(0，)单调递增，在(，0)单调递减；a0时，f(x)在，(a，)单调递增；在单调递减【规律总结】函数的导数在其单调性研究的作用(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论易错提示在利用“若函数f(x)单调递增，则f(x)0”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”【变式训练】1(2020临川五月模拟)已知函数f(x)ln x.(1)若函数f(x)在1，)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)f(x)ln x，f(x)(a0)函数f(x)在1，)上为增函数，f(x)0对x1，)恒成立，ax10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.(2)a0，f(x)，x0，当a0时，f(x)0对x(0，)恒成立，f(x)的增区间为(0，)，当a0时，f(x)0x，f(x)0x，f(x)的增区间为，减区间为.考点二：利用导数研究函数的极值与最值【例2】(2020朝阳二模)已知函数f(x)aln xx(a0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当a(，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)e2.审题导引(1)利用导数的几何意义可求；(2)讨论函数f(x)的导函数的符号可知f(x)的单调性；(3)利用(2)中函数f(x)的单调性求出f(x)的最小值g(a)，并求g(a)的最大值可证不等式规范解答(1)f(x)的定义域为xx0f(x)1(x0)根据题意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a.2)f(x)1(x0)当a0时，因为x0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0xa.所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减当a0时，因为x0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0x2a.所以函数f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，)上单调递增(3)证明由(2)知，当a(，0)时，函数f(x)的最小值为g(a)，且g(a)f(2a)aln(2a)2aaln(2a)3a.g(a)ln(2a)a3ln(2a)2，令g(a)0，得ae2.当a变化时，g(a)，g(a)的变化情况如下表：ae2g(a)0g(a)极大值e2是g(a)在(，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点所以g(a)最大值ge2ln3e2ln e2e2e2.所以，当a(，0)时，g(a)e2成立【规律总结】1利用导数研究函数的极值的一般步骤(1)确定定义域(2)求导数f(x)(3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【变式训练】2(2012济南模拟)某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)x(x1)(392x)，(xN，且x12)已知第x月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)(1)写出2013年第x月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问：2013年哪个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解析(1)当x1时，f(1)p(1)37，当2x12，且xN时，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x.验证x1符合f(x)3x240x(xN，且1x12)(2)第x月旅游消费总额为g(x)即g(x)当1x6，且xN时，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5，x(舍去)当1x5时，g(x)0，当5x6时，g(x)0，当x5时，g(x)maxg(5)3 125(万元)当7x12，且xN时，g(x)480x6 400是减函数，当x7时，gmax(x)g(7)3 040(万元)，综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大消费总额为3 125万元考点三：利用导数研究不等式【例3】(2012长治模拟)设函数f(x)ax2xln x(2a1)xa1(aR)(1)当a0时，求函数f(x)在点P(e，f(e)处的切线方程；(2)对任意的x1，)函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围审题导引(1)利用导数的几何意义kf(x0)求出切线方程；(2)讨论a的取值求出f(x)在1，)上的最小值，由最小值大于等于0恒成立求a的范围规范解答(1)当a0时，f(x)xln xx1，由f(x)ln x，则kf(e)1，f(e)1，函数f(x)在点P(e，f(e)处的切线方程为y1(xe)，即xy1e0.(2)f(x)2ax1ln x(2a1)2a(x1)ln x，易知，ln xx1，则f(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1)，当2a10，即a时，由x1，)得f(x)0恒成立，f(x)在1，)上单调递增，f(x)f(1)0符合题意所以a.当a0时，由x1，)得f(x)0恒成立，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)0显然不成立，a0舍去当0a时，由ln xx1，得ln1，即ln x1，则f(x)2a(x1)(2ax1)因为0a，所以1.x时，f(x)0恒成立，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)0显然不成立，0a舍去综上可得：a.【规律总结】利用导数解决不等式问题的类型(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题(2)比较两个数的大小：一般的解决思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决【变式训练】3(2012济南模拟)已知函数f(x)ln xx(a1)(1)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性；(2)当a3，)时，曲线yf(x)上总存在相异两点P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)，使得曲线yf(x)在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1x2.解析(1)由已知x0，f(x)1.由f(x)0，得x1，x2a.因为a1，所以01，且a.所以在区间上，f(x)0；在区间上，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)证明由题意可得，当a3，)时，f(x1)f(x2)(x1，x20，且x1x2)即11，所以a，a3，)因为x1，x20，且x1x2，所以x1x22恒成立，所以，又x1x20，所以a，整理得x1x2.令g(a)，因为a3，)，所以g(a)在3，)上单调递减，所以g(a)在3，)上的最大值为g(3)，所以x1x2.考点四：定积分【例4】(2012丰台二模)由曲线y与yx，x4以及x轴所围成的封闭图形的面积是A.B.Cln 4Dln 41审题导引作出图形，找到所求面积的区域以及边界坐标，利用定积分求解规范解答如图，面积Sxdxdxx2ln xln 4.答案C【规律总结】定积分的应用及技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值易错提示在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数【变式训练】4(2012济南模拟)已知函数f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)(a0)成立，则a_.解析因为f(x)dx(3x22x1)dx(x3x2x)4，所以2(3a22a1)4a1或a.又a0，a.答案名师押题高考【押题1】若函数f(x)xex，则下列命题正确的是Aa，xR，f(x)aBa，xR，f(x)aCxR，a，f(x)aDxR，a，f(x)a解析f(x)ex(1x)，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则x1.f(x)maxf(x)极大f(1).由图知a，xR，f(x)a，故选A.答案A押题依据利用函数的导数研究函数的最值问题是高考的重点内容本题以命题为载体考查了利用导数求函数的最值(极值)，体现了转化了的数学思想方法，考查了能力，故押此题【押题2】设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解析对f(x)求导得f(x)e