高中数列知识点与习题

1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 （3）数列的前项和与通项的关系：例：已知数列的前n项和，求数列的通项公式2.等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。2、等差数列的通项公式：；3、等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列 即： （）例1设是公差为正数的等差数列，若，则 （ ）A B C D4、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；5、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )例：1.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（2009全国卷理） 设等差数列的前项和为，若,则= 7.（2009全国卷理）设等差数列的前项和为，若则 8判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法： 是等差数列中项法： 是等差数列1（01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 1等差数列中，则前 项的和最大。2设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围，指出中哪一个值最大，并说明理由。5.已知是等差数列，其中，公差。（1）数列从哪一项开始小于0？（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值7.在等差数列中，求的最大值利用求通项2已知数列的前项和则 3.（2005湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；4.已知数列中，前和求证：数列是等差数列求数列的通项公式5.（2010安徽文）设数列的前n项和，则的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比数列1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：。2.递推关系与通项公式1 在等比数列中,，则 2 在等比数列中,则 3.（07重庆文）在等比数列an中，a28，a164，则公比q为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）81 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.和的等比中项为( ) 2.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B CD2 等比数列的基本性质，（1）（2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例：1在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 2. 在等比数列，已知，则= 3.在等比数列中，求若3 前项和公式例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和 2.已知等比数列的首相，公比，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和 4（2006年北京卷）设，则等于（ ）AB C D5（1996全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； 2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D633.已知数列是等比数列，且 6.等比数列的判定法（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列； 7.利用求通项例：1.（2005北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：， 求；2.已知数列满足，求数列的通项公式； 3.数列满足=8， （），求数列的通项公式；4. 已知数列满足，求数列的通项公式；5.设数列满足且，求的通项公式6. 已知数列满足，求数列的通项公式。7.等比数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式10.已知数列满足且（），求数列的通项公式；12.数列已知数列满足则数列的通项公式= （2）累加法1、累加法 适用于： 若，则 两边分别相加得 例：2. 已知数列满足，求数列的通项公式。3.已知数列满足，求数列的通项公式。（3）累乘法适用于： ，例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。3. 已知， ，求。（4）待定系数法 适用于 例：1. 已知数列中，求数列的通项公式。2.（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_7. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 （5）递推公式中既有 分析：通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。 3已知数列中，前和求证：数列是等差数列求数列的通项公式（8）对无穷递推数列（求和式）例：1. （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。2.设数列满足，求数列的通项；数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论2错位相减法求和：如：例：1求和 2. 求和：3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 例：1.数列的前项和为，若，则等于（）A1 B C D3.已知数列的通项公式为，求前项的和综合练习：2.等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前n项和3.已知等差数列满足, .