足球生产计划问题

足球生产计划问题摘要：本文讨论了B题给出的足球生产计划问题。首先我们充分分析了题意，建立了足球生产计划的优化模型。其次，该模型的求解我们采用了专门解决规划问题的lingo软件，并用MATLAB数学软件对求解的结果进行了检验以确保其正确性。在推行现代企业制度的企业里，要提高企业的经济效益，降低产品成本是一个重要的途径。成本是反映企业生产经营状况的最主要的综合性指标，只有把控制成本摆放在最突出的位置上，企业才能适应市场要求，取得经济效益。以最低的消耗获取最佳的经济效益，是企业经营者所追求的目标。企业要实现盈利目标与战略管理，离不开生产计划的制定。生产商品所带来的生产成本，又得满足客户的需求量下，必定会有库存量，库存量会带来储存成本，在生产成本与储存成本之间需要找到一个平衡，而储存率正是把生产成本与储存成本连接起来，要使得总成本最优化，储存率就得找一个最优值，找一个符合公司本身的生产计划。对于问题一，在按满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划中，我们通过确定目标函数，寻找约束条件，建立了线性规划模型，并用生产计划模型和目标规划进行了检验。对于问题二和问题三，我们采用了枚举法，将储存率降低时会出现的值一一列举出来，得到相应的生产计划，发现规律：储存率在一定的范围内，产量的取值都和储存成本率等于0.0039，0.012。在本文的最后，我们对模型进行了多方面、多层次的分析、检验，使模型趋向于完善，同时对模型进行了几方面的改进，还提出了几点宝贵的改进意见，论证严密，逻辑性强，并将它推广应用于实际中，使我们对实际数据的处理结果与实际经验相符合。关键词：线性规划；最优化求解；lingo软件；Matlab数学软件；成本最小一、问题综述1.1 问题的描述某皮革公司生产足球，它必须确定每个月生产多少足球。该公司决定以6个月为一个规划周期；根据市场调查，今后6个月的预计需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000.该公司希望按时满足这些需求量。它目前的存货是5,000，该公司可以用该月的生产量来满足该月的需求量（公司有一整个月的时间来生产，而需求则在月底发生）；在每个月中，该公司的最大产量是30,000个足球，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存10,000个足球。预测今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95；而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。（这个成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本。）而足球的销售金额和这次的生产决策无关，因为不管销售的金额为何，该公司都打算尽可能满足顾客的需求，因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。1.2 问题的提出问题一：求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。问题二：如果储存成本率降低，生产计划会怎样变化？问题三：储存成本率是多少时？储存容量达到极限。二、问题分析考虑到问题的题设和要求，我们要解决的是皮革公司的生产计划优化配置问题，这是个典型的线性规划问题，对于规划问题的求解步骤基本是：第一步，找目标函数；第二步，找约束条件；第三步，对规划函数进行求解。对问题分析后，我们确定总成本与产量的目标函数，我们建立了按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本达到最小的数学模型。约束条件的寻找相对比较容易，不过我们能从题目中得到的明显约束条件很少，可想而知本题有隐含的约束条件需要自己去挖掘。如果约束条件能够起到有效的约束作用，唯一剩下的就是借助计算机对规划模型进行最优求解。对于问题一 ：某皮革公司生产足球需要制定在满足客户的需求下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。对于这六个月的方案我们可以考虑以1个月为一个生产周期，在每个月满足客户需求后，考虑生产成本与储存成本，又受到该公司的最大产量和公司在扣掉需求后，月底的库存量最多储存量的制约，我们的任务就是制定一个优化的生产计划使得生产总成本与储存成本最小化。我们决定用线性规划来解决这个问题对于问题二和问题三：本月的库存量是上月的库存量加本月的生产量减本月的需求，本月与上月的库存量相互影响，储存率的变化，又会影响储存成本的变动，要使得储存成本的降低，生产成本需降低，这就意味着产量的下降，而公司需要满足客户的需求，这就出现了矛盾的地方，因此生产计划需要作出相应的变化，最终考虑当储存容量达到极限时，储存率的值。对此，我们决定枚举法来解决这个问题。此外，为了目标函数和约束条件的顺利表述。我们在正式模型建立之前，做了大量完整而系统的模型准备工作，用量化的语言理清了生产成本，储存成本，储存率，库存量等之间的关系。三、基本假设1、假设在六个月时间内，每个足球的生产成本保持稳定不变；2、假设每个月的单位生产成本不变；3、假设足球的销售金额和这次的生产决策无关；4、假设最后一个月月末的库存为零；5、假设每个月的需求量首先有库存补给，不足部分就本月生产量补足；6、假设在六个月内不受其他风险因素的影响。四、定义符号说明每月最大产量： ； 每月剩余量：；每月需求量： ； 每月生产费用：；每月储存费用： ； 每月单位生产成本：；每月单位储存成本：； 每月产量：；每月储存成本率： ； 储存容量：每月总成本： ； 六个月生产和储存成本：五、模型的建立5.1 问题一模型的建立问题一要求设计一种生产计划，按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本达到最小。设今后六个月分别是1月，2月，3月，4月，5月，6月，根据题意中的已知数据（如单位生产成本、预计需求量和最大生产量等等）绘制成以下表格，再把具体数据对应填入表1中。表1 每月各项数据月份生产成本（美元/个）储存成本（美元/个）产量（个）预计需求量（个）1月12.50000.625030000100002月12.55000.627530000150003月12.70000.635030000300004月12.80000.640030000350005月12.85000.642530000250006月12.95000.64753000010000每月的生产成本为：；每月的储存成本为：每月的总成本为：六个月的总成本为：所得模型的目标函数为：约束条件：目标函数：5.2 问题二模型的建立设储存率为，则，其他条件不变，得出以下模型。约束条件：目标函数：5.3 问题三模型的建立问题三是建立在问题二的基础上的，所以我们可以从问题二的结果中得出问题三的结论。枚举附件1lingo程序中的变量存货储存率的值来观察每月的产量变化。六、模型的求解5.1 问题一模型的求解我们根据建立的线性规划模型，通过lingo软件编程（程序见附录1），得到了问题的最优解，六个月最低总成本为元，其中六个月的产量分别是5000个，20000个，30000个，30000个，25000个，10000个。用MATLAB数学软件对求解的结果进行检验时（程序见附录2），得到的最低成本、以及每个月生产的产量和用lingo软件求出的结果相同。根据模型一建立的约束条件和目标函数，我们参照表1中的数据代入matlab程序运算如下：定义常数矩阵：，定义变量矩阵：定义系数矩阵：将数据代入MATLAB程序(见附件2)运算得 5.2 问题二模型的求解根据模型二，运用枚举法求得，当储存成本率降低，生产计划变化分析结果如表2所示（程序见附件1、3）：表2 生产计划变化表percentX1X2X3X4X5X6Sum0.0500500020000300003000025000100000.0400500020000300003000025000100000.0300500020000300003000025000100000.0120500020000300003000025000100000.0090500025000250003000025000100000.007050002500030000250003000050000.0039150001500030000300003000000.0035150001500030000300003000000.0030150001500030000300003000000.0025150001500030000300003000000.002015000150003000030000300000由上表可知，当储存成本率小于等于0.0039时，产量的取值都和储存成本率等于0.012时一样；当储存成本率大于等于0.012时，产量的取值都和储存成本率等于0.012时一样。从上表还可以看出，当储存成本率下降是，总成本也随之降低。5.3 问题三模型的求解由问题二的结果可以看出当储存成本率是0.0039时,储存容量达到极限。其第六个月的产量等于零，最大储存容量。（程序见附件3）七、 结果分析 对于一采用的线性规划，建立了数学模型，需要确定目标值（），每月产量等，具有一定的主观性与模糊性，随着主观者的决策不同而不同。我们对模型的求解运用lingo软件，并用MATLAB数学软件对求解的结果进行了检验以确保其正确性。结果显示：他们的最低总成本是相等的。对于问题二和三，我们用了枚举法解决，将储存率降低时会出现的值一一列举出来，得到相应的生产计划，发现规律：储存率在一定的范围内，产量的取值都和储存成本率等于0.0039，0.012。而枚举法运算量比较大，解题效率不高，如果枚举范围太大（一般以不超过两百万次为限），在时间上就难以承受。不可避免地会出现些误差，只要来自于一方面来自于模型的建立，另一方面来自于枚举法的运用。由于模型将一些问题过于理想化，也忽略了一些次要因素的影响。因此，模型各量的取值将直接影响模型结果的稳定性和精确性。变量的选取，取值的不稳定性，都影响着最终结果的判定。用不同的数值方法会得不同的结果。八、 模型评价与改进8.1 模型的优点（1）为便于分析问题，模型简化了生产、需求和存储的关系，省去了生产时间、存储时间和需求时间三者之间的复杂关系；（2）在需求方面，优先考虑上周剩余量的使用，省去了产品长时间积压带来的一些问题4；（3）忽略了一些市场因素的影响，假定各个量在六个月内稳定不变，这就省去了修正各个量的步骤，使模型简单易求。（4）采用枚举法，得到的结果肯定是正确的；枚举算法的思路简单，程序编写和调试方便。（5）本文在正确，清楚地分析了题意的基础上，建立了科学，合理的生产计划模型，为求储存率做准备。（6）对模型中的生产量，储存成本，生产成本进行了量化分析，使的文章跟具说服力。8.2 模型的缺点（1）在模型中生产、需求和存储的关系过于简单，与实际生产有所出入，比如生产需要一定的时间来完成，生产时间拉的越长，存储与需求的关系越复杂，从而导致存储和生产的费用变化1,4；（2）在实际中往往会遇到诸如竞争、供求关系的影响，而在模型中忽略了这类市场风险的影响，从而使所得的结果并不能很好的反映实际情况。（3）我们第四个假设最后一个月月末的库存为零，不符合实际，太过理想化。而且，在实际生产与销售中，会受到各种各样的风险因素与竞争压力。（4）规划模型中的约束条件太过于简单，没能全方面考虑到各个要素，如忽视了销售价格对于生产计划的影响。如果市场上，供过于求，公司不得不在价格做出让步，以求得商品的销售，这时，并非生产的越多越好，生产的成本直接会降低一个公司的利润。8.3 模型的改进以上的模型是在给定一些假设，诸如每个月的单位生产成本不变；足球的销售金额和这次的生产决策无关等，这是对实际的抽象简化与实际情况并不完全相符。为了使模型在现实中得到应用，我们可以对模型进行改进。为了进一步完善模型中生产、需求和存储的关系1,4，需求量要求在满足条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划，我们可以采用最佳经济批量法：最佳经济批量，其中表示一定时期产品的总产量，表示每次产品投产前的准备成本，表示单位生产产品的存储成本。则可求出最低相关总成本。如果不考虑足球的销售金额，就不知道生产足球是否有获利，在现实生活中，如果生产一种产品并没有利润收入时，甚至发生亏损的情况下，我们建议停止生产该种产品，只有这样，才不会造成更大的损失，所以，我们必要考虑产品的销售金额和它的最大利润。九、 模型推广本模型是一个典型的线性规划模型，用来求解最优目标函数值问题。此类问题很多，也有很多的推广应用价值。优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。如设计师要在满足强度要求下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场要求下确定产品价格，使所获利润最高；投资者要选择一些股票、债券“下注”，使收益最大，而风险最小等。这种用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型。虽然由于建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。参考文献1 姜启源.数学模型M .北京: 高等教育出版社,2002 2 刘建州. 实用数学模型教程M .武汉: 武汉理工大学出版社,2004 3 王文波.数学建模及其基础知识详解M .武汉:武汉大学出版社,2006 4 程理民 ，吴江，张玉林等.运筹学模型与方法教程M . 北京:清华大学出版社，1998 5 陈华友.运筹学.中国科学技术大学出版社, 20056 寿纪麟.数学模型方法与范例. 西安交通大学出版社,19937 薛毅.数学建模基础.北京工业大学出版社,20048 王正林 ，刘明.精通MATLAB7.电子工业出版社,20029 范国兵 , 罗太元.线性规划问题最优解的判定.长沙大学学报.第21卷第2期4-5页,200710 junhun Lingo教程 / 2009-6-6 附程序：附件1：用lingo软件的编程及相应的结果model:sets:month/mon1.mon6/:total;val/val1.val6/:cost;x/x1.x6/: output;ku/ku1.ku6/:kucun;endsetsdata:total = 10000 15000 30000 35000 25000 10000; cost = 12.50 12.55 12.70 12.80 12.85 12.95; percent = 0.05; kucun = 5000,;n=6;enddatamin = output(1)*cost(1)+ output(2)*cost(2)+output(3)*cost(3)+output(4)*cost(4)+output(5)*cost(5)+output(6)*cost(6)+cost(1)*percent*(kucun(1)+output(1)+cost(2)*percent*(kucun(2)+output(2)+cost(3)*percent*(kucun(3)+output(3)+cost(4)*percent*(kucun(4)+output(4)+cost(5)*percent*(kucun(5)+output(5)+cost(6)*percent*(kucun(6)+output(6); output(1)=total(1);kucun(1)+output(1)-total(1)=10000;kucun(2)=kucun(1)+output(1)-total(1); output(2)=total(2);kucun(2)+output(2)-total(2)=10000;kucun(3)=kucun(2)+output(2)-total(2); output(3)=total(3);kucun(3)+output(3)-total(3)=10000;kucun(4)=kucun(3)+output(3)-total(3); output(4)=total(4);kucun(4)+output(4)-total(4)=10000;kucun(5)=kucun(4)+output(4)-total(4); output(5)=total(5);kucun(5)+output(5)-total(5)=10000;kucun(6)=kucun(5)+output(5)-total(5); output(6)=total(6); kucun(6)+output(6)-total(6)=10000;endGlobal optimal solution found. Objective value: . Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost PERCENT 0.E-01 0. N 6. 0. TOTAL( MON1) 10000.00 0. TOTAL( MON2) 15000.00 0. TOTAL( MON3) 30000.00 0. TOTAL( MON4) 35000.00 0. TOTAL( MON5) 25000.00 0. TOTAL( MON6) 10000.00 0. COST( VAL1) 12.50000 0. COST( VAL2) 12.55000 0. COST( VAL3