2011年北京市高考理科数学试题及答案

. 2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，.若,则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（2）复数（A） （B） （C） （D）（3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（A） （B） （C） （D）开 始（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）（B）（C）是（D）否输出结 束（5）如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点。给出下列三个结论： ； ； 其中，正确结论的序号是 （A） （B） （C） （D） （6）根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟， 那么和的值分别是 （A） （B） （C） （D）（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中 最大的是4（A） 834侧（左）视图正（主）视图（B） （C） 10俯视图（D）（8）设，（），记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在中，若，则 ； 。（10）已知向量，若与共线，则 。（11）在等比数列中，若，则公比 ； 。（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。 （用数字作答）（13）已知函数过关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 。（14）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线过坐标原点； 曲线关于坐标原点对称； 若点在曲线上，则的面积不大于；其中，所有正确结论的序号是 。三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数，（I）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值；（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，。（I）求证：平面（）若，求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长；（17）（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以表示。乙 组甲 组 9 9 0 8 9 1 1 1 0（I）如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望；注：方差，其中为的平均数（18）（本小题共13分） 已知函数。（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围；（19）（本小题共14分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，（）求椭圆的焦点坐标及离心率；（）将表示为的函数，并求的最大值；（20）（本小题共13分）若数列（）满足，则称为数列，记。（）写出一个满足，且的数列；（）若，证明数列是递增数列的充要条件是；（）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得，如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1C 2A 3B 4D 5A 6D 7C 8C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9；2 101 112，1214 13（0，1） 14三、解答题（共6小题，满分80分）15解：（）=4cosx（）1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数的最小正周期为（）x，2x+当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2当2x+=时，即x=时，f（x）取得最小值116解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PA平面ABCD，所以PABD，PAAC=A所以BD平面PAC（II）设ACBD=O，因为BAD=60，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）所以，设PB与AC所成的角为，则cos=|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC平面PDC，所以=0，即6+=0，解得t=，所以PA=17解：（I）当X=8，乙组同学植树棵树是8，8，9，10平均数是=方差为+=（II）当X=9时，甲同学的指数棵树是9，9，11，11；乙组同学的植树棵树是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有44=16种结果，这两名同学植树的总棵树Y可能是17，18，19，20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，P（Y=17）= P（Y=18）= P（Y=19）= P（Y=20）=， P（Y=21）=随机变量的期望是EY=1918解：（）=，令f（x）=0，得x=k当k0时，f（x）f（x）随x的变化情况如下：所以，f（x）的单调递增区间是（，k），和（k，+），单调递减区间是（k，k）；当k0时，f（x）f（x）随x的变化情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（，k），和（k，+），单调递增区间是（k，k）；（）当k0时，f（k+1）=，不会有任意的x（0，+），都有f（x），当k0时，由（I）知f（x）在（0，+）上的最大值是f（k）=，任意的x（0，+），f（x），f（k）=，解得，故对于任意的x（0，+），都有f（x），k的取值范围是19解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=椭圆G的焦点坐标 离心率e=（II）由题意知：|m|1，当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，） 点B（1，） 此时|AB|=；当m=1时，同理可得|AB|=；当m1时，设切线l的方程为：y=k（xm），由（1+4k2）x28k2mx+4k2m24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=又由l与圆圆x2+y2=1相切圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1m=，所以|AB|=，由于当m=1时，|AB|=，当m1时，|AB|=，此时m（，11，+） 又|AB|=2（当且仅当m=时，|AB|=2），所以，|AB|的最大值为2故|AB|的最大值为220解：（）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（）必要性：因为E数列An是递增数列 所以ak+1ak=1（k=1，2，1999） 所以An是首项为12，公差为1的等差数列 所以a2000=12+（20001）1=2011 充分性：由于a2000a19991 a1999a19981 a2a11， 所以a2000a11999，即a2000a1+1999 又因为a1=12，a2000=2011 所以a2000=a1+1999 故ak+1ak=10（k=1，2，1999），即An是递增数列 综上所述，结论成立（）设ck=ak+1ak（k=1，2，n1），则ck=1因为a2=a1+c1 a3=a1+c1+c2 an=a1+c1+c2+cn1所以S（An）=na1+（n1）c1+（n2）c2+（n3）c3+cn1=（n1）+（n2）+1（1c1）（n1）+（1c2）（n2）+（1cn1）=因为ck=1，所以1ck为偶数（k=1，2，n1）所以（1c1）（n1）+（1c2）（n2）+（1cn1）为偶数所以要使S（An）=0，必须=使为偶数即4整除n（n1），亦即n=4m或n=4m+1（mN*）当n=4m（mN*）时，E数列An的项满足a4k+1=a4k1=0，a4k2=1，a4k=1（k