CH10-1微分方程基本概念

1,第十章微分方程与差分方程10.1微分方程的基本概念10.2一阶微分方程10.3一阶微分方程在经济学中的综合应用10.4可降阶的二阶微分方程10.5二阶常系数线性微分方程10.6差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构10.7一阶常系数线性差分方程10.8二阶常系数线性差分方程10.9差分方程的简单经济应用,2,N(t)时刻t的人口数量,基本假设:人口净增长率r（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数。,马尔萨斯人口模型英国人口学家Malthus(1766-1834）于1798年提出.,随着时间增加，人口按指数规律无限增长.,3,例1（以一种新的观点描述连续复利）,假设某人以本金P0元进行一项投资，投资的年利率为r，若以连续复利计，则t年末的资金总额为：,现在我们将从另一种观点导出（1）.,设t时刻的资金总额为P(t)，且资金没有取出也没有新的投入.那么:t时刻资金总额的变化率=t时刻资金总额获取的利息.,解得,4,二、基本概念,微分方程（DifferentialEquations）:联系着自变量、未知函数及函数的导数（或微分）的关系式.,常微分方程（OrdinaryDifferentialEquations）:自变量只有一个的微分方程.,偏微分方程（PartialDifferentialEquations）:自变量有两个或两个以上的微分方程.,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称之微分方程的阶.,一阶微分方程,二阶微分方程,5,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,例1（以一种新的观点描述连续复利）设t时刻的资金总额为P(t)，且资金没有取出也没有新的投入.那么t时刻资金总额的变化率=t时刻资金总额获取的利息.,（C为任意的常数）,通解,特解,初始条件,6,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,通解:,特解:,特解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,x,y,0,7,解由于,8,解已知,因此所求特解为x=Acost.,9,练习验证下列函数是二阶微分方程的解.,（1）,（2）,(C1,C2为任意常数),验证,令C1=-1,C2=1,即解(2).,通解,特解,10,二、基本概念,微分方程（DifferentialEquations）:联系着自变量、未知函数及函数的导数（或微分）的关系式.,常微分方程（OrdinaryDifferentialEquations）:自变量只有一个的微分方程.,偏微分方程（PartialDifferentialEquations）:自变量有两个或两个以上的微分方程.,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称之微分方程的阶.,一阶微分方程,二阶微分方程,11,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,(1)通解:微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个