数学物理方法1-1复变函数与解析函数

数学物理方法,王丽艳Email:nj_wly答疑地点：数学系(图书馆507),概述,主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业课做准备承上启下。课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近似解法.,教材及指导书,一、教材：管平等编.数学物理方法，第二版，高等教育出版社，2010年4月二、主要的参考书：梁昆淼编.数学物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年6月。胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法，上海：复旦大学出版社郭敦仁编，数学物理方法，北京：人民教育出版社。陆全康编，数学物理方法自学辅导，上海：上海科学技术出版社。,要求和考核,基本要求：,1、课前预习2、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席3、上课认真听讲，做好笔记4、课后复习，整理笔记，独立完成作业,成绩组成和考试方式：,1、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记)占20%，考试占80%2、考试方式：闭卷笔试,第一章复变函数,主要内容:1.1复变函数和解析函数1.2复变函数的积分1.3复变函数的级数1.4留数及其应用1.5分式线性变换。,1.1复变函数和解析函数,1.1.1复变函数,z=x+iyx=Rez，y=Imzi为虚数单位，i2=-1,复数的几何意义,一、复数的概念,复平面,复数z=x+iy,虚轴,实轴,模,幅角,注：,复数的表示,代数表示：z=x+iy,三角表示：z=r(cos+isin),指数表示：z=rexp(i),复数的运算,z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1,注：复数不能比较大小,复数相等,零点与无穷远点,复平面上特殊的点:零点和无穷远点.(1)复数零的幅角没有定义,模为0.(2)无穷远点的模为,幅角不确定.包含“无穷远点”的复平面称为扩充复平面，该无穷远点借助测地投影法来定义。,测地投影法定义无穷远点,二、复数的运算,三、复变函数,区域的基本概念,邻域,平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域,|z-z0|,0|z-z0|,开集,如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。,内点,设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。,区域,平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。,边界点,设D为复平面上的一个区域，如果点p不属于D，但是在p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点p称为D的边界点。,闭区域,区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为,边界,D的边界点之全体称为D的边界。,单连通域与多连通域,设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。,单连通域,多连通域,复变函数的定义,设D是复平面上的一个区域。如果有一个确定的法则f存在，使得对于D内的的每一个复数z，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为w=f(z)。,说明1,如果z的一个值对应着唯一一个w值，那么我们称f(z)是单值函数；如果z的一个值对应着多个w值，那么我们称f(z)是多值函数。值域：M=w|w=f(z),zD,复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy,z平面,w平面,复变函数举例基本初等函数,指数函数,z平面,w平面,双曲函数,三角函数,对数函数,幂函数,复变函数的极限和连续性,设A=u0+iv0,1.1.2解析函数,一、复变函数可微与导数的概念,定义1,设复变函数f在内有定义,如果极限,或记为,定义,结论：可微等价于可导，且,若函数在区域D内的每一点都可导，则称在D内可导.,例1.求(为正整数)的导数.,解：,1.从定义形式上看，复变函数与一元实变函数是完全一样的，所以实变函数论中的相关规则往往可以适用于复变函数。,2.复变函数的可导有更严格的要求实变函数x只能沿实轴逼近0，而复变函数z则可以沿任何曲线逼近于0。,例如：,注意：,首先看z则沿实轴逼近于0的情形：,再看z沿虚轴逼近于0的情形：,定理1.1.1(可导的必要条件),Cauchy-Riemann条件,例5,证明：,定理1.1.2（可微的充要条件）,导数f(z0)的幅角Argf(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.,w=f(z),导数f(z0)的模|f(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。,Z平面,w平面,复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）,解：,二、解析函数的定义,设函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析，则称f(z)在区域D内是解析函数,说明,2.称函数的不解析点为奇点,1.解析与可导的关系,函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然,由定理9.2即得：,定理9.3（判断解析的充要条件）,解：,例7.下列函数在何处可导，何处解析,解:,解:,证明:,三、初等函数及性质,1.指数函数,性质：,注意：,2.三角函数,性质：,，,，,3.对数函数,说明：,性质：,解:,4.幂函数,性质：,解：,作业,习题（P）,1（1）（3）（5）；2,.以z轴作实部,颜色作虚部在这个图像中,为了把不同虚部表示出