福建省莆田市2019届高三第二次质量检测（A卷）（5月） 数学（理）（PDF版）

- 1 - 2012019 9 年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A(A 卷卷) ) 理科数学理科数学 本试卷共 5 页满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书 写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.设全集8Uxx N，集合 1,3,7A,2,3,8B , 则 UA B A. 2,3,4,5,6,8 B. 2,8 C. 1,7 D. 3 2.已知iza( 0)a ，且 2z ，则z A. 1i B. 1i C. 3i D. 3i 3.执行如右图所示的程序框图，最后输出结果为 A. 16 B. 31 C. 32 D. 62 4. 函数 sin e1 x f x 在, 上的图像大致为 A B C D 5.从4位女生，3位男生中选3人参加科技比赛，则至多有2位女生入选的方法种数为 A. 30 B. 31 C. 185 D. 186 - 2 - 6.如图 1 是某省 2019 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务收入统计图，其 中同比增长率指和去年同期相比较的增长率.下列对统计图理解错误错误 的是 A月业务量中，3 月份最高，2 月份最低，差值接近 2000 万件 B月收入同比增长率中，3 月份最高 C同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D月业务收入同比增长率逐月增长 7 现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件， 设其中优等品零件的个数为X.若 8D X ，(20)P X (30)P X，则p A. 0.16 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.84 8.将函数( )cos(2)f xx的图像向右平移 6 个单位长度后，所得图像关于原点对称，则的最小值为 A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 9. 孙子算经 是中国古代重要的数学著作， 上面记载了一道有名的“孙子问题” （又称“物不知数题”） ， 后来我国南宋数学家秦九韶在数书九章大衍求一术中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古 算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.后传入西方，被称为“中国剩余定理”. 现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列， 则此列数中第10项为 A.116 B. 131 C.146 D. 161 10.已知F为椭圆 2 2 :1 4 x Cy的右焦点，过点F的直线l与椭圆交于,A B两点，P为AB的中点，O为 原点.若OPF是以OF为底边的等腰三角形，则l的斜率为 A. 1 2 B. 3 6 C. 2 D. 2 3 11.在正方体 1111 ABCDABC D 中， ,E F分别为棱 11 ,BB DD的中点，G为侧面 11 ABB A内一点.若 1 DG平面 1 AEC F，则 1 DG与平面 11 ABB A所成角正弦值的最大值为 A. 5 5 B. 2 5 5 C. 6 6 D. 30 6 12.已知双曲线 22 22 1(0,0:) xy ab ab C的左、右焦点分别为 12 ,F F，以线段 12 F F为直径的圆与C的渐近线 - 3 - 在第一象限的交点为P，且 12 2PFPFb.设C的离心率为e，则 2 e= A. 13 2 B. 15 2 C. 3 D. 5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.若向量2,3 ,4,ABBCm ，且, ,A B C三点共线，则AB BC _. 14.若 , x y满足约束条件 1, 1, 20, y yx xy 则 22 zxy的最小值是_. 15.已知, a bR,且0.a 函数 2 2 , 2+1,. x xxxa f x axaxa 若方程 f xb 至多有两个不等实数根，则a 的取值范围为_. 16.对于 * ,m nN,数列 n a 都有 mn aa t mn （t为常数） 成立，则称数列 n a 具有性质( )R t.若数列 n a 的 通项公式为 2 n anan，且具有性质(10)R，则实数a的取值范围是_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答生都必须作答. .第第 2222，2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题（一）必考题 6060 分分. . 17.（12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别是, ,a b c.已知cossinbaCcA. （1）求A； （2）若AC边上的中线BD的长为2，求ABC面积的最大值 18.（12 分） 如图，以 111 , , ,A B C A B C为顶点的五面体中， 111 AABBCC , 1 CC 平面ABC, 5ABBC， 111 22AABBCCAC ，F是AC的中点. （1）求证： 1 AC 平面 1 BAF； （2）求二面角 11 BAFB 的余弦值. 19. （12 分） - 4 - 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元） 的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建 立了两个函数模型: 2 yx，e x t y ，其中, , ,t 均为常数，e为自然对数的底数 现该公司收集了近 12 年的年研发资金投入量 i x和年销售 额 i y的数据，1,2,12i ，并对这些数据作了初步处理，得 到了右侧的散点图及一些统计量的值 令 2, ii uxln ii vy(1,2,12)i ，经计算得如下数据： （1）设 i u 和 i y 的相关系数为 1 r， i x 和 i v 的相关系数为 2 r，请从相关系数的角度，选择一个拟 合程度更好的模型； （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到 0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？ 附：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xx yy r xxyy ， 回归直线 y abx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，a ybx ； 参考数据：3084 77 ，909.4868， 4.4998 e90 x y 12 2 1 () i i xx 12 2 1 () i i yy u v 20 66 770 200 460 4.20 12 2 1 () i i uu 12 1 ()() ii i uuyy 12 2 1 () i i vv 12 1 ()() ii i xx vv 3125000 21500 0.308 14 - 5 - 20. （12 分） 已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且PEF是周长 为12的正三角形 （1）求C的方程； （2）过点F的直线与抛物线相交于,A B两点，抛物线在点A处的切线与l交于点N，求ABN面积的 最小值. 21（12 分） 已知函数 12 eln x f xaxxbx 的导函数为 fx ，且 121ff . （1）求a的值； （2）若 f x有唯一极值点，且极值为0，求b的值. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所 做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos , 3sin x y （为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 2 4 . (1)写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； (2)设点P在 1 C上，点Q在 2 C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标. 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知函数 2f xxaa . (1)若不等式 6f x 的解集为 | 13xx ，求a的值； (2)设函数 21g xx .若 3f xg x ，求a的取值范围. - 6 - 2019 年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A 卷) 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则. 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分. 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分. 一、选择一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算题：本大题考查基础知识和基本运算. .每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分. . 1B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7C 8.A 9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算. .每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分. . 13 26 14. 1 2 15. 1,0 16. 7, . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.本小题主要考查正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式、诱导公式等基础知识， 考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运 算等核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分. 解：(1)因为 cossinbaCcA , 所以由正弦定理得，sin sincossinsinBACCA , . 1 分 因为B AC , 代入得sin( )sincossinsinACACAC , 所以sin( )sincossinsinACACAC , . 2 分 即sin coscossinsincossinsinACACACAC , . 3 分 所以cos sinsinsinACAC . 4 分 - 7 - 因为sin 0C , 所以cos sinAA , . 5 分 又因为A为三角形内角， 所以 4 A . . 6 分 （2）因为BD为边AC上的中线, 所以 2 ABCABD SS , . 7 分 设 ABD ,则 3 4 ADB .由正弦定理得， sin sin 4 BD AD =2 2sin， 3 2 2sin() 4 AB , . 8 分 则 1 sin 24 ABD SAD AB . 9 分 3 2 2 sinsin() 4 2 2sin+2sincos 1+ sin2cos2 1+ 2sin(2) 4 , . 10 分 因为 3 0, 4 , 所以当 3 8 时， ABD 面积的最大值为1 2 , . 11 分 所以 ABC 面积的最大值为2 2 2 . . 12 分 - 8 - 18.本小题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数 学运算等核心素养，体现基础性、综合性. 满分 12 分. 解：（1）因为 1 CC 平面ABC，BF 平面ABC，所以 1 CCBF . 因为 5ABBC ，F是AC的中点， 所以BF AC . . 1 分 又 1 CCACC ， 所以 11 BFAACC 平面 ，从而 1 BFAC . . 2 分 因为 1 CC 平面ABC，且 1111 ,AACC AACC ， 所以四边形 11 AAC C 为直角梯形. 又F是AC的中点， 11 22AACCAC ， 所以 1 A AF 与 1 ACC 均为等腰直角三角形， 所以 11 45AFAC AC . . 3 分 设 11 AFACD ，则 90ADF， 所以 11 AFAC . . 4 分 又 1 BFAFF ， 1 ,BF AF 平面 1 BAF ， 所以 1 AC 平面 1 BAF . . 5 分 （2）由（1）知 11 BFACC A 平面 .设 11 AC 的中点为E，连接EF， 则EF 1 CC ，从而EF AC . 以F为原点， ,FA FE FB分别为x轴，y 轴，z轴 正方向建立如图所示空间直角坐标系. - 9 - 由题意得， 111 0,0,0 ,1,1,0 ,0,2,2 ,1,0,0 ,1,2,0 ,FABAC . 6 分 则 111 (0,2,2),(1,1,0),( 2,2,0),FBFAAC . 7 分 设平面 11 AB F 的法向量为m ( , , )x y z ， 由 1 1 0, 0, FB FA m m 得 220, 0, yz xy . 8 分 令 1y ，得 1,1xz ， 所以m (1, 1,1) 为平面 11 AB F 的一个法向量. . 9 分 因为 1 AC 平面 1 BAF ， 所以 1 ( 2,2,0)AC 为平面 1 BAF 的一个法向量. . 10 分 因为 1 1 1 1212 6 cos, 332 2 AC AC AC m m m ， . 11 分 且由图可知二面角 111 BACC 为锐角， 所以二面角 111 BACC 的余弦值为 6 . 3 . 12 分 19. 本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识, 考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养, 体现基础性、综合性与应用性满分 12 分 解：（1） 12 1 1 1212 22 11 ()() ()() ii i ii ii uuyy r uuyy 215002150043 0.86 25000503125000200 ， . 2 分 12 1 2 1212 22 11 ()() ()() ii i ii ii xx vv r xxvv 141410 0.91 770.2117700.308 ， . 4 分 则 12 rr ，因此从相关系数的角度，模型 e x t y 的拟合程度更好. 5 分 - 10 - （2）（i）先建立v关于x的线性回归方程. 由 e x t y ，得ln y tx ，即 =v tx . 6 分 由于 12 1 12 2 1 ()() 14 0.018 770 () ii i i i xx vv xx ， . 8 分 4.200.018 203.84,tvx . 9 分 所以v关于x的线性回归方程为 0.023.84vx ， 所以 ln0.023.84yx ，则0.023.84 e. x y . 10 分 （ii）下一年销售额y需达到 90 亿元，即 90y ， 代入0.023.84 e x y 得， 0.023.84 90e x ， 又 4.4998 e90 ，所以4.4998 0.023.84x ，. 11 分 所以 4.49983.84 32.99 0.02 x ， 所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元. 12 分 20.本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想 等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.满分 12 分. 解：（1）由 PEF 是周长为 12 的等边三角形，得 =4PEPFEF ， - 11 - 又由抛物线的定义可得PE l . . 1 分 设准线l与y轴交于D，则PE DF ，从而 60PEFEFD . 2 分 在 EDFRt 中， 1 cos42 2 DFEFEFD ，即 2p . . 3 分 所以抛物线C的方程为2 4xy . 4 分 （2）依题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为： 1ykx ， 联立 2 4 , 1, xy ykx 消去y可得，2 440 xkx . 设 1122 ,A x yB x y ，则 1212 4 ,4xxk x x . . 5 分 所以 2 12 1ABkxx 2 2 1212 14kxxx x 22 11616kk 2 4 1k . . 6 分 由 2 4 x y ，得 2 x y ， 所以过A点的切线方程为 1 11 2 x yyxx ， . 7 分 又2 1 1 4 x y ， 所以切线方程可化为2 11 24 xx yx . . 8 分 令 1y ，可得2 1 1 1 1 1 1 4 22 2 x y xk x x , - 12 - 所以点 (2 , 1)Nk , . 9 分. 所以点N到直线l的距离 2 2 2 22 21 1 k dk k ， . 10 分 所以 23 1 4 (1)4 2 ABN SAB dk ，当 0k 时，等号成立. . 11 分 所以 ABN 面积的最小值为 4. . 12 分 21.本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算 求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考 查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养,体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 解：（1）因为 12 eln x f xaxxbx ， 所以 1 eln12 x fxaxbx ， . 1 分 所以 1fab ， 11 2fab . . 2 分 又因为 121ff ， 所以 1222abab ， . 3 分 解得 1a . 所以a的值为1. . 4 分 （2）由（1）可得， 12 eln x f xxxbx ， 1 eln12 x fxxbx . 设 f x 唯一极值点为 0 x ，则 0 0 12 0000 1 000 eln0 eln120 x x f xxxbx fxxbx ， ， . 5 分 由 0 x 2 得， 0 1 0000 2 eln0 x xxxx . . 6 分 令 1 2 eln x F xxxxx ，则 1 1 eln x Fxxx ， 所以 1 1 exFxx x . - 13 - 又 Fx 在 0, 上单调递增，且 10 F ， . 7 分 所以当 0,1x 时， 0Fx ，从而 Fx 单调递减， 当 1,x 时， 0Fx ，从而 Fx 单调递增， 故 10FxF ，从而 F x 在 0, 上单调递增， . 8 分 又因为 10F ， 所以 0 1x . . 9 分 代入可得， 1b . . 10 分 当 1b 时， 12 eln x f xxxx ， 1 eln12 x fxxx ， 因为 1x 是 的唯一零点，且 10f ， 10 f ， . 11 分 又 1 11 1e1111 e2 ee2eee2ee20f ， 3 4eln4180 f ， 所以 1x 是 f x