全国大联考 2020 届 12 月联考理科数学A试卷

理科数学试卷 第 1 页（共 8 页） 20LKYG12 绝密考试结束前 考试时间：2019 年 12 月 5 日 15:00 17:00 全国大联考 2020 届 12 月联考 理科数学试卷（A） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，需用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 3考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 4考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 1 |24 4 x Ax=， |22By yxx=+，则AB =I A2 B0 C 2,2 D0,2 2若复数z满足(1)4 2zii=+，则z = A25 B17 C5 D17 3从 6,9中任取一个m，则直线3 40 xym+=被圆 22 2xy+=截得的弦长大于2 的概率为 A 2 3 B 2 5 C 1 3 D 1 5 4 张丘建算经是早于九章算术的我国另一部数学著作，在算经中有一题： 某女子善于织布， 一天比一天织的快， 而且每天增加的数量相同， 已知第一天织布 5 尺， 30 天共织布 390 尺，则该女子织布每天增加 A 4 7 尺 B 16 29 尺 C 8 15 尺 D16 31 尺 5某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图 考试开始前请勿填写 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 理科数学试卷 第 2 页（共 8 页） 20LKYG12 中的圆的半径为 3， 则制作该手工制品表面积为 A5 B10 C125+ D24 12+ 6从某中学抽取 100 名学生进行阅读调查，发 现每年读短篇文章量都在 50 篇至 350 篇之间， 频率分布直方图如图所示，则对这 100 名学生 的阅读量判断正确的为 Aa的值为0.004 B平均数约为200 C中位数大约为183.3 D众数约为350 7已知 25 2 (231)(1) a xx x +的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是 A10 B7 C10 D9 8 已知函数 2 ( )f xxax=+的图象在 1 2 x =处 的切线与直线20 xy+=垂直执行如图所示 的程序框图，若输出的k的值为 15，则判断框 中t的值可以为 A 13 14 B 14 15 C 15 16 D 16 17 9已知正项数列 n a为等比数列， n S为其前n项和，且有 22 3526 324002aaa a+=， 24 10SS =，则第 2019 项的个位数为 A1 B2 C8 D9 10已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为 3yx= ，则双曲线C的离心率为 理科数学试卷 第 3 页（共 8 页） 20LKYG12 A2 B3 C3或 3 2 2 D2或 2 3 3 11已知函数 ) 2 , 0)(sin(2)( +=xxf在 3 2 , 2 上至少存在两个不同的 21,x x满足4)()( 21 =xfxf，且函数)(xf在 12 , 3 上具有单调性，)0 , 6 ( 和 12 7 =x分别为函数)(xf图象的一个对称中心和一条对称轴， 则下列命题中正确的是 A函数)(xf图象的两条相邻对称轴之间的距离为 4 B函数)(xf图象关于直线 3 =x对称 C函数)(xf图象关于点 )0 , 12 ( 对称 D函数)(xf在) 2 , 6 ( 上是单调递减函数 12 已知函数( )f x在(0,1)恒有( )2 ( )xf xf x ， 其中( )f x 为函数( )f x的导数， 若, 为 锐角三角形的两个内角，则 A )(sinsin)(sinsin 22 ff B )(cossin)(sincos 22 ff C )(coscos)(coscos 22 ff D )(cossin)(cossin 22 ff 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设, x y满足约束条件 0 2360 3260 xyk xy xy + + + ，若目标函数2zxy=的最大值与最小值之 和为 40 13 ，则k =_ 14| 2a = r ，| 1b = r ，a r ，b r 的夹角为60，则b r 与2ab rr 的夹角为 15在三棱锥PABC中，2 2,4,3,5PAPBABBCAC=，若平面PAB 平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为_ 理科数学试卷 第 4 页（共 8 页） 20LKYG12 16已知抛物线 2 :4C xy=，任意直线:(0)l ykxb b=+，已知直线l交抛物线C于 M，N两点，P为y轴上的一点满足OPMOPN= （点O为坐标原点） ，则P点 的坐标为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 CaAcacoscos2= 求 b a 的值及角A的取值范围 18（12 分） 如图， 在平面多边形SABCD中，SA AD， 1 2 SAABADCDBC=， 3 ABC =，以AD为折痕把SAD折起，使点S到达点P的位置，且PAAB，连 接AC （1）求证：平面PAC 平面PAB； （2）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值 理科数学试卷 第 5 页（共 8 页） 20LKYG12 19 （本题满分 12 分） 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续 6 个月内，月份 i x和关注 人数 i y（单位：百）(1,2,3,6)i =L数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计 量的值 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明， 并建立y关于x的回归方程； （2） 经统计， 调查材料费用（单位： 百元） 与调查人数满足函数关系 1863 23 y v y =+ ， 求材料费用的最小值，并预测此时的调查人数； （3）现从这 6 个月中，随机抽取 3 个月份，求关注人数不低于 1600 人的月份个数分 布列与数学期望 参考公式：相关系数 n 1 n 22 11 )() )() ii i n ii ii xx yy r xxyy = = = （ （ ，若0.95r ，则y与x的线性相关 程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系回归方程 ybxa=+中斜率与截距 理科数学试卷 第 6 页（共 8 页） 20LKYG12 的最小二乘估计公式分别为 6 1 6 2 1 () ) () ( ii i i i xxyy xx b = = = ， a ybx= 20 （本题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab +=左、右焦点分别为 1 F、 2 F，上顶点为A，离心率 为 2 2 ， 1b = （1）求E的方程； （2）直线l与E相切于点P，直线m过点 1 F经点P被直线l反射得反射光线n问： 直线n是否经过x轴上一个定点？若经过，求出该点的坐标；若不经过，说明理由 理科数学试卷 第 7 页（共 8 页） 20LKYG12 21 （本题满分 12 分） 已知函数( )(1) (0) x f xA xeA=+ （1）讨论函数( )f x的单调性； （ 2 ） 当0A时 ， 令 函 数( )(1) xkx g xeekx=+， 当0 x 时 ， 恒 有 2 ( ( )(4 )g f xg xx+，求实数A的取值范围 理科数学试卷 第 8 页（共 8 页） 20LKYG12 选考题： 请考生在 22、 23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt = + =+ （t为参数） 以坐标原点为极 点 ， 以x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线C的 极 坐 标 方 程