高一物理竞赛第2讲 导数的应用.教师版VIP

第二讲 导数的应用上讲回忆如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉，甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉，请不要害怕，不要彷徨，因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉，和你们是一样一样的。也不要害怕掌握不熟，对以后学习有什么影响，我们帮你把今后要用的东西给你准备好了：； ；本讲目标在本讲讲详细介绍导数的各种应用。在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。洛比达法则：这是计算极限的一种常用方法，也可以用来比较小量的阶数.函数求极值：掌握极值和最值的区别，体会能量取极值的意义。多元函数极值和条件极值：这是导数与实际生活联系最紧密的领域。不仅物理问题，许多经济学问题，生活问题都可以用这些方法解决。小量展开：这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。小量展开体现的一种逐阶展开、通过抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关系。讲义的风格与上将类似，一个类目的纯数学例题尽量只有一个，但复杂的提供自学例题课后复习提高。知识模块第一部分 洛比达法则知识点睛有时候会遇到0/0型的极限式，即分子分母的极限分别为0，例如。当的时候，可见的高阶量相对于低阶量可以忽略。对于多项式求导可以降低阶数，当阶数降到0的时候，极限不再是0，可以直接计算了。按照这条思路前人发明了洛比达法则：；如果我们不打算证明这个定理，只做如下说明：如果；，则。当然，如果分子分母的一阶导数是0，可以继续使用洛比达法则，直到不再是0/0型为止。例题精讲【例1】 利用洛比达法则计算下列极限：;；解析 第二部分 函数的单调性和极值知识点睛如果函数在某点切线斜率为正，导数大于0，则显然在这个点附近函数是增函数，反之如果函数在某点切线斜率为负，导数小于0，则在这个点附近函数是减函数。利用求导数的办法可以判定函数的增减性。在画复杂函数图像的时候可以先画一个特殊点，然后判定函数的增减性，从而画出函数的大致形状。xy0xy0如果一个连续的可导函数在开区间上有最大值，则在函数取最大值那一点，一定型如下图，最大值在一个“山包的顶上”。这一点的切线显然是0，换句话说这一点的一阶导数为0。如若不然，设，则；设，则，均与函数在那一点取最大值矛盾。同理，如果一个连续的可导函数在开区间上有最小值，则函数取最大值那一点一阶导数为0。注意，如果给定的是闭区间，则还有另一种可能性：函数的最大最小值在边界取到。这时候并不能得出结论：最大最小值点的一阶导数为0。反过来，如果函数一阶导数为0，并不意味着函数取最大最小值。如图所示。虽然在点导数为0，让函数站在一个山头上，但是一山更比一山高，的函数值更大。山头的点虽然不是最大值，但是也确实不用于其他点。我们把一阶导数为0的点叫做函数的极值点。当两阶导数大于0的时候叫做极小值，两阶导数小于0的时候叫极大值，两阶导数等于0的时候可能是极大值，可能是极小值，也可能什么都不是。总结一下：求函数极值点只需要令其一阶导数等于0；闭区间求有界函数最大值，需要先找出所有极值点，然后找出边界点，比较这些点函数值，最大的是最大值；开区间求有界函数最大值，需要先找出所有极值点函数值，然后找出边界上的函数的极限值，比较这些值，如果边界极限最大，则开区间内无最大值，否则是最大的那个极值点。举一个物理中的例子。在保守力（例如重力、弹力等只和位置有关的力）的作用下，物体平衡的位置就是势能取极值的位置。比如用一根劲度系数为k弹簧吊着一个质量为m的物体，用x代表弹簧的伸长量。这样可以把系统的势能写成x的函数。假设在一个外力作用下物体缓慢的从x移动到了，这段时间内外力（令方向为正方向）做的功是。由功能原理得到：势能变化。重力与弹力的合力应当与保持平衡的外力相反，所以。这就是势能和对应的力之间的一般公式。现在令x为竖直向上方向。于是有，显然有。当取极值时，正是所期待的力平衡方程。如果E是极大值，则是不稳定平衡，如果E是极小值则是稳定平衡。例题精讲【例2】 判定下列函数在其定义域内是否有极值，求出极值并说明是否极大值、极小值。；，【答案】 1 极小：x=0,y=0 2 极小：， 3 极小：，极大： 4 极值：，不是极大也不是极小 4 极大：【例3】 求下列函数在各自区间上的最大值和最小值（自学）；【答案】 1 极值点：极小：，不在区间内。边界点；由于函数连续，有下界无上界，所以有最小值点，就在是边界取到： 2 极值点：， 时 为最小值 时 为最小值【例4】 一个弹性绳套质量为，劲度系数为，原长为，保持水平地套在顶角为的光滑圆锥上。求平衡时候绳套距离顶点高度。已知弹簧的弹性势能为，是弹簧的伸长量。【解析】写出能量表达式，取圆锥顶点为势能零点。令得到【例5】 两质量为M的小球用劲度系数为k的弹簧连接，平衡时弹簧压缩量为x，计算弹簧的原长，并在弹簧方向上讨论平衡的稳定性（例6过度题，主要例6的数学计算容易分散初学者注意力）。【解析】，所以方法一：设弹簧的长度由于扰动增加dr，则引力变化而弹力变化当即为稳定，反之为不稳定（这里还没有讲到展开，后面可以着重说明一下dr与r的区别）。方法二：写出势能解析式，计算二阶导数，为正则为稳定，反之不稳定。将这个方法之前，可以先引入一个比较形象简单的例子：一质点在y=x2与y=-x2的顶点一个为稳定平衡一个为不稳定平衡。【例6】 光滑的半径为R的圆环固定在竖直平面内。取一根原长为R的劲度系数为k的轻弹簧，从上方顶点连到一个质量为m，套在圆环上的小球上。问系统的平衡位置，并讨论是否为稳定平衡。【解析】 设弹簧与竖直方向夹角 写出能量表达式 令得到解得因为要求所以当，平衡点在稳定当平衡点在不稳定；稳定【例7】 两个星体质量为固定在相距的位置，求两星体中垂线上一点，质量为m物体受到引力最大的一点位于什么位置。【解析】求导，知道在有极大值。第三部分 偏导数与条件极值知识点睛物理代表着一种思考与处理问题的方式：观察现象，提出一个模型解释问题；如果不同问题模型有共同点，那么就可以总结出经验公式甚至定律或者原理。熟练掌握了这样建模解模的能力，不仅能处理物理问题，各类实际生活相关的问题都能触类旁通。特别是到了当代，物理学在经济学中的影响越来越大，摩根大通等大财团纷纷开始雇用具有物理背景的专业人士从事风险管理等工作。日常生活中以至于经济学中，需要的函数经常关于几个变量的同时变化，例如矩形面积，这时候叫是关于的二元函数。固定其中一个变量为常数，则函数退化为一个一元函数：。对着这个一元函数求导数，结果叫做对的偏导数，记为，有时候也简记为。同理定义。对于二元函数可以形象的观察其几何意义：函数图象是在一个二维平面上画出的一个地形图。固定一个变量，相当于用这个面去截这个图形得到的曲线。多元函数求极值的方法和一元函数很类似。把一个变量作为自变量，其它变量当常数，得到一个一元函数，求导数。联立求解对所有变量的求导数得到的方程后解得的点叫做稳定点。可以证明，如果极值点存在，则一定在稳定点上。实际情况还可能对些自变量有限制条件，例如另矩形周长为常数。这种情况叫做条件极值。条件极值的一般方法是拉格朗日乘值法：需要求极值的目标函数是：限制条件设一个参数然后构造新的目标函数然后对新的目标函数求求偏导数，和限制条件一起联立得到的方程的解就是稳定点。然后综合判断边界条件决定最值的位置。如果限制条件有个，类似的设s个参数，造出新的目标函数，再求偏导数即可。例题精讲【例8】 求下列多元函数的偏导数；【解析】1、；2、；3、；【例9】 求下列多元函数的稳定点；【解析】1、；解得：，所以极值点为 2、联立得到。即到原点距离为的点都是稳定点。【例10】 造一个有底无顶的圆柱形水桶，保持体积一定的时候表面积最小。问圆柱的高与底面半径的比例应为多少。【解析】令半径为，高度为。限制条件为，目标函数为。 引入参数，则新的目标函数为 解得: 【例11】 范德华气体。考虑到分子间距较远时分子之间有吸引力，以及气体分子有体积，两个效应叠加，理想气体方程被修改成为，其中是与气体性质有关的两个参数，此方程被称为范德华方程。这个方程比理想气体状态方程更为接近真实气体。其等温线如图所示。可以发现当温度小于一定值的时候，等温线变得不再是单调函数。求出【例12】 阿兹卡板的囚徒（选讲）两个食死徒被抓了。奥罗门干的第一件事情就是隔离，让他们老死不再相见。他们俩面临着是否招供和被判刑的问题。表格内的两个数分别表示A、B二人会被判刑的年数：（A被判年数，B被判年数）。假设二者都足够理性，可以选择招或者不招。为了迫使两人都招供，政府给出了如下左表的承诺。问二人会做什么选择。AB招不招招（8，8）（10，1）不招（10，1）（2，2）解析 /* 段子 纳什均衡 年轻的男性数学、物理工作者要做点成就出来，动力往往跟女人有关。纳什这家伙也不例外。纳什很有才，二十多岁就当上了教授，但是还是单身。一天他和一群狐朋狗友一起去酒吧喝酒，看见了一位漂亮mm，于是大家都想搭讪。别人都在想怎样搭讪才能成功，此时纳什的天赋表现出来了：他想，如果大家一拥而上一起搭讪，mm必然愤怒，大家都失败；如果让一个人搭讪，其他人帮腔，成功概率就会大得多，然后每次去酒吧大家轮流来，每人都有好处。由此出发他提出了著名的纳什均衡理论，大体意思是说每人都以自己利益最大化为标准，最后团体必然会形成一个稳定的策略。然后呢然后纳什就疯了直到几十年后他被授予了诺贝尔经济学奖才好一点。具体的情况推荐大家看美丽心灵，不看人生不完整*/考虑A。他先假设从B招，那么招是8年，不招10年；假设B不招，招是1年，不招2年。可见，不论B策略如何，A一定选择不招。同理可以分析B也一定不招。所以最后二者一定会选择都招供。虽然他们都选择不招会使得二者利益都上升。变化 情况二A某法官为了摧残二人的心智，给出了右表的承诺。问二人会做什么选择？如果两人都以一定概率选择招，问最后二者选的概率是什么？B招不招招（9，6）（8，2）不招（5，5）（7，5）先解释期望。例如赌钱，50%可能输10块，50%概率可能赢18块，则赌一次收到钱的平均值则是：，受益的平均值就叫做期望。如果还是延续第一问的情景，限制两人只能招或者不招，结果发现他们可能取在右上的位置，也可能在左下的位置。纠结了。 设主犯选择概率招供，从犯选择概率招供。这样最后各种情况发生概率如图：AB招不招招（9，6）（8，2）不招（5，5）（7，5）最后A被判年限的期望值为：最后B被判年限的期望值为：由于A和B都足够理性，他们一定会选择函数的极值：最后解得：这个结果应当这么理解：两人都为自己考虑，而且知道对方也只为自己考虑，结果计算出每人都能够计算出两人的概率。【例13】 寡头模型（选讲）假设有两个商家生产和销售同一种产品。产品的成本为，商家有足够的生产能力，他们产量为。总产量为，产品价格为。定义商家的利润为：，。两商家都足理性，追求利益最大化。情景一：两商家针对定价问题，签订了一个协议，并按照协议执行定价，问他们协议中的定价会是怎样，各获得多少利润？ 情景二：如果商家都是自私的，可以自由选择是否遵守协议，自由制订价格。问他们会选择如何制订价格，利润为多少？这时候协议是否有效？情景三：为了保证协议的有效性，协议规定，如果一方违反协议价格，一方遵守协议价格，那么违反协议一方须向另一方缴纳违约金。为了保证商家都遵守协议，违约金应至少为多少？/*段子： 这个模型当然是很粗糙的。经济学相比物理学而言就是很粗糙的！物理学透之后再学经济学就是小儿科！但是做金融的拿的钱是做物理的拿的钱的n倍！搞物理的说搞经济的连给搞物理的擦皮鞋都不配！搞经济的说只要我愿意，我可以让你连皮鞋都买不起！所以某物理学家说：经济学的存在的意义就是使得占星术看起来不那么扯淡实际上好多本科学物理的后来都去搞金融了*/解析 情景一 由于两商家地位对等，所以应当平分天下。二者总利润为令得到，两者利润为 情景二 两商家分别的收益为；令； ；解得：，此时两者利润为，比原先都要低1类似于囚徒困境可以画出收益与策略的图表，可见最后产量一定会变成2。21.521.54.5, 4.55, 3.7523.75, 54, 4 情景三 商家二遵守协议，产量为1.5，设商家一产量调整为则，令，得利润为，比遵守协议多，可见违约金至少为 变化 成本为c，生产能力足够，价格由商家决定，而顾客根据价格是否购买。顾客购买量商家1产品的量，购买商家2产品的量。商家的利润定义为。两商家都足理性，追求利益最大化。再问情景一、二、三选讲背后的模型：假设每个人都对商品的价格有一个心理极限，只要价格低于这个极限就会购买，如果有两个商品价格都小于心理极限，则会随机购买一个。再假设所有人的心理价格是从0到M均匀分布的 令 令 解得：，利润 情景二由于两商家地位对等，所以协议中的价格一定是一样的，设为。则令得到，利润 情景三如果商家2遵守协议价格，商家1的价格定义令，得到，比按照协议获得利润多，所以协议中违约金至少为巩固练习3 某公司推出同一系列的两种产品，单位产量成本为，产量为，受到生产条件限制，单位时间产量。设单位时间内销量分别为，该品牌的声誉定义为。如果定价分别为，销量预计为，。问产品应当如何定价。【解析】先解出，代入利润表达式令解得：；对应的声誉；销量：；，利润第四部分 小量展开知识点睛小量展开核心的想法是：多项式总是比一般函数简单的。如果能用多项式在代替原来复杂的函数，那么问题处理起来会简单很多。这样做好处跳出具体繁复的方程，凸显物理图像。这么做的代价是我们得到的是近似解。下面我们可以看到这样的误差是可以受到控制的，在一定条件下这样的误差是完全可以忽略的。如果某函数在一个区间内有左导数等于右导数（我们在物理里面见到的，看起来“正常”的函数都满足这样的性质），这时候我们又叫原函数可导，或者可微。如果函数在x点可微，那么在x点附近，函数图像几乎是一条直线。其中代表的二阶小量，也经常写为。n阶小量的定义是：而存在并不等于0，也就是说当的时候，小量的阶数越高，就越快的趋紧于0。显然，当取极限的时候，高阶小量/低阶小量都是等于0的，计算高阶小量+低阶小量的极限的时候，高阶小量一般可以忽略。我们可以对导函数继续求导，只要导函数的导数存在。两次求导之后的结果叫做两阶导数，记做：这时候我们叫原函数两阶可导。类似的只要一个函数的n-1阶导数可导，则可以定义n阶导数，记做我们不加证明的给出如下公式：如果某个函数阶可导，则这个公式叫做泰勒公式，当时又叫做麦克劳琳公式。这个公式的基本想法是：在某一个点附近，我们可以用一个多项式来拟合原函数，多项式的系数由函数在那一点的导数决定。也就是说某一点的各阶导数实质上包含了附近其它点函数值的信息。用n次多项式拟合原函数，这样做的误差是一个n+1阶小量。例如，对在点处做展开：我们把叫做的0阶近似，也叫0阶泰勒展开；叫做1阶；叫做二阶，以此类推。下面给出与其0-3阶近似的对比图。可以形象地看见，随着近似阶数上升，泰勒展开逐步逼近原函数。 也可以这么理解这个公式，函数某一点的高阶导数，包含了其附近函数值的信息。当函数的高阶导数存在，并且在所需要逼近的区域内有“良好的定义”（比如连续、可导、有界），泰勒展开的结果总是逼近原函数的。但是当考虑的区域越过函数的发散点时，泰勒展开就往往不成立了。例如函数，在点附近展开时，泰勒展开是成立的。但是考虑的区间扩大到，即越过这个奇点时，泰勒展开的结果就显得荒谬了。在的区域，随着展开阶数的增大，展开式反而远离目标函数。当我们考虑物理问题的时候，实际过程往往是繁复而杂乱的。为了突现主要矛盾，抽象出明晰的物理图象，近似是一定需要的。其中一种近似方法就是基于泰勒展开。先考虑主要的、简单的效应，然后把剩余的部分作为小量，逐阶加入方程求解。这样的方法叫做微扰。例如在计算炮弹的轨迹的时候，先不考虑空气阻力，这样解出来是抛物线。然后用最简单的形式表达空气阻力，得到所谓弹道曲线，然后再把空气阻力的各种修正项加上，逐渐逼近真实结果。微扰论是20世纪上半叶之前处理复杂体系最为有效的方法，几乎在物理学的每个分支中都有应用。然后随着物理学的继续发展，人们逐渐意识并不是所有问题都可以用微扰处理的。情况很类似于上面的例子，当函数越过一个奇点，量的积累引发质的变之后，泰勒展开就不再收敛了。例如湍流、斑图、强相互作用，乃至于生命都是不能用微扰论处理的。于是人们发展了各种非微扰的办法处理这样的前沿学科。泰勒展开在竞赛物理中的应用常常表现小量展开。在一个表达式中如果某个量x远小于1，则把整个表达式看作x的函数，在x=0处作泰勒展开，把表达式写成0阶+1阶+2阶+的形式，然后根据具体需要，保留一定的阶数。实际计算中不会真的每次都求导数，下面的公式是方便的，需要熟练使用： 90%的题目是用这个公式展开到第一阶。一定要记住！;如图考虑一个摆长为的单摆的受力情况。物体受到的合外力大小为，其水平方向分量为，竖直方向分量为。当单摆的摆角足够小的时候，做泰勒展开得到:水平方向最低阶不为零的项是一阶小量，所以保留到一阶。类比偏离平衡位置的弹簧的作用力发现二者具有相同的形式，所以二者具有相同的运动规律，都是简协振动。竖直方向的受力最低阶不为零的项是二阶小量，所以相比较于水平方向的运动，竖直方向可以忽略。再考虑这个体系的势能。与平衡位置相比，体系势能的变化为：做泰勒展开得到：最低阶不为零的项是二阶小量，所以我们下结论：考虑单摆的时候，能量需要计算到第二阶。事实上，平衡位置附近做周期振荡的体系，能量通常都需要算到第二阶。注意：对于周期振荡的系统，描述体系的变量（例如）和其对时间的一阶导数（例如，通常用表示）是同阶的小量。所以体系的动能写出来：也是二阶小量。我们现在做的一个标量函数的小量展开，有时候我们需要对一些矢量或者几何图形里的量做小量展开。其核心想法是一样的，留下最低阶不是0的小量，忽略高阶的。例如在考虑半径为r，角速度的匀速圆周运动的时候，计算一小段时间内物体速度的变化。实际速度变化的大小是，方向与初始时刻的法向夹角为。计算加速度的时候有， 所以只需要把计算到一阶小量即可。把按展开有，。由于在法向投影需要乘以，切向分量需要乘以，所以法向分量是一个一阶小量，而切向是一个二阶小量。计算瞬时加速度取极限之后，法向加速度为，切向加速度为0。【例14】 求在点处无穷多阶的泰勒展开【解析】逐阶求导，总结规律 【例15】 已知函数（1）使用简化的公式或求导数的办法求在处一阶泰勒展开（2）求在处二阶泰勒展开（自学）【解析】1、， ， 使用简化的公式：2、，使用简化的公式：3、；使用简化的公式：4、；使用简化的公式：5、使用简化的公式【例16】 相对论中一个物体静止时质量为m0，当运动时质量变大为，并且一个物体的总能量满足E=mC2，现在定义一个物体的动能为总能量减去静止时的能量，推导一个物体在低速时（vC）的动能近似公式。【提示】爱因斯坦最引人注目的贡献之一在于给出了高速运动物体的总能：。这个式子显然那太复杂。质疑相对论的热情洋溢的，嘴皮发达头脑简单的民间科学家们就会问，你这不是和经典的牛顿力学里面的动能公式矛盾了吗？如果我们令物体速度，做了一个神奇的小量展开之后，上面的式子就会变得趋于这样：回归到了牛顿力学。这是物理学进化的基本要求：新的理论一定要在解释原理论能解释的所有事实基础上，能解释或者预言新的现象，并自然得把原理论作为新理论在某些条件下的近似纳入新的理论。【例17】 相对论的一个检测方法是：在遥远的宇宙中经常能观察到超星的爆发（为了图简单姑且理解为爆炸吧，实际是膨胀，会持续一段时间，本题当作瞬间爆炸），现在分析一种简单的情景：距离地球100万光年以外一超新星爆发时，两片超新星爆发时的碎片，分别向着地球与反向地球以v=300km/s运动，它们发出的光在如果满足类似惯性原理相对于地球的速度是不一样的，那么在地球上看到这两碎片的光的时间间隔会很长，而实际地球上观察的超新星爆发的观察时间与爆发的持续时间是一样的，这说明所有方向上的超新星碎片发射的光相对地球的速度是精确一致的。计算在非相对论情况下，地球上观察到超新星爆发持续时间。【解析】【例18】 大气的折射率n与空气密度以及距离地心距离r关系式为： 式中a为常数，为地球表面的大气密度，大气折射率随高度的增加而递减，要让我们能向前看到自己的后脑勺（不考虑光能量在空气中的损耗）即：光线能沿着地球表面的圆弧弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率【提示】微绕一下，光程（或者时间不变）【例19】 在一个半径为R的固态星球表面上覆盖了一层高度为hR的海洋，密度为。发现从海底到海面的过程中，测得的重力加速度为g，几乎没有发生变化。求。外有引力常数为。解析 复习外有引力的计算。球壳对内重力作用为0，对外相当于质点。则在距离海底为的位置，重力加速度为：要求几乎不随的变化而变化，即要求对展开之后一阶小量为0，变化是高阶小量，或者说随的一阶导数为0。做一阶小量展开得到： 即；带入得到【例20】 一个不倒翁，底面是一个半径为r的球面，配重质量为m位于距离下方顶点高度为hr的地方。忽略配重以外的质量。讲不倒翁放在粗糙水平桌面上。问当不倒翁偏离平衡位置的角度为时体系的动能和势能表达式,精确到和的二阶小量。hOOyxC解析 以原来的圆心作为坐标原点，建立平面直角坐标系。计算新的质心位置。 由于纯滚动，所以新的球心坐标为 C相对于O的位置为，于是C的坐标为计算势能：，展开到二阶有：计算动能：x方向位移是一阶小量，y方向位移是二阶小量。由于周期运动速度和位移是同阶小量，动能需要精确到第二阶，所以只需要考虑x方向位移到第一阶即可。动能类比简谐振动能量表达式可以得到这是一个简谐振动，可以计算周期。巩固练习1利用洛比达法则计算下列极限：；（选做）解析 所以而，所以2 山外表面满足，把一质量，原长，弹性系数为的弹簧围成一个圈套在光滑的山顶。求静止时坐标。新增3.从地面将一个球踢到离为，高度为的门柱上，用求导数的办法计算所需的最小速度。提示公式（）【解析】写出关于的导数即可。4 1mol理想气体经过如下过程从A到B。此过程中体系先吸热再放热。问体系放热为多少？已知摩尔热容量为。11AB你知道吗？ 分析力学简介从十八世纪开始，在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析力学。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程拉格朗日第一类方程。分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的拉格朗日第一