2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试（1月） 数学（文）（PDF版）

高三数学试题第 1 页（共 4 页） 南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数 学 文 试 题 (总分总分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上 参考公式： 柱体体积公式：柱体体积公式：VSh，锥体体积公式：，锥体体积公式： 1 3 VSh，其中，其中S为底面积，为底面积，h为高为高. 样本数据样本数据 12 , n x xx的方差的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中，其中 1 1 n i i xx n . 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1已知集合(0,)A，全集UR，则 UA= 2设复数2zi，其中i为虚数单位，则z z 3学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲 被选中的概率为 4命题“R ，cossin1”的否定是 命题.(填“真”或 “假”) 5运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为 6已知样本yx, 9 , 8 , 7的平均数是9，且110xy，则此样本的方差是 7在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 2 4yx上的点P到其焦点的距离为3，则点P到 点O的距离为 0 0 10 1 S I While S SSI II EndFor Print I (第 5 题图) 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 8 若数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 lna、 2 lna、 5 lna成等差数列， 则 2 1 a a 的值为 9在三棱柱 111 ABCABC中，点P是棱 1 CC上一点，记三棱柱 111 ABCA BC与四棱锥 11 PABB A的体积分别为 1 V与 2 V，则 2 1 V V 10设函数( )sin()f xx（0,0 2 ）的图象与y轴交点的纵坐标为 3 2 ， y轴右侧第一个最低点的横坐标为 6 ，则的值为 11已知H是ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点） ， 11 42 AHABAC uuuruuu ruuu r ， 则cosBAC的值为 . 12若无穷数列cos()n()R是等差数列，则其前 10 项的和为 13已知集合( , )16Px y x xy y，集合 12 ( , )Qx y kxbykxb， 若PQ，则 12 2 1 bb k 的最小值为 14若对任意实数 1 ,(x，都有1 12 2 axx ex 成立，则实数a的值为 . 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知ABC满足sin()2cos 6 BB （1）若 6 cos 3 C ，3AC ，求AB； （2）若0, 3 A ，且 4 cos 5 BA，求sin A 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 16(本小题满分 14 分) 如图，长方体 1111 DCBAABCD中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱 1 CC上的 一点 （1）若 1 AC/平面PBD，求 PC PC1 的值； （2）求证：PABD 1 (第 16 题图) 17(本小题满分 14 分) 如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶具体做 法是从Oe中裁剪出两块全等的圆形铁皮Pe与Qe，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形 ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计） ，AB为圆柱的一条母线，点A、B在Oe上， 点P、Q在Oe的一条直径上，Pe、Qe分别与直线BC、AD相切，都与Oe内切 （1）求圆形铁皮Pe半径的取值范围； （2）请确定圆形铁皮Pe与Qe半径的值，使得油桶的体积最大(不取近似值) (第 17 题图) 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 4 页（共 4 页） 18(本小题满分 16 分) 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F， 离心率是e， 动点 00 (,)P xy 在椭圆C上运动，当 2 PFx轴时， 0 1x ， 0 ye （1）求椭圆C的方程； （2）延长 12 ,PF PF分别交椭圆C于点,A B（,A B不重合） ，设 11 AFFP uuuruuu r ， 22 BFF P uuu u ruuu u r ，求的最小值 (第 18 题图) 19(本小题满分 16 分) 定义:若无穷数列 n a满足 1nn aa 是公比为q的等比数列， 则称数列 n a为 “ M q 数列” 设数列 n b中 1 1b ， 3 7b （1）若 2 4b ，且数列 n b是“ M q数列”，求数列 n b的通项公式； （2）设数列 n b的前n项和为 n S，且 1 1 2 2 nn bSn ，请判断数列 n b是否为 “ M q数列”，并说明理由； （3）若数列 n b是“ 2M数列”，是否存在正整数,m n使得 40394040 20192019 m n b b ?若存 在，请求出所有满足条件的正整数,m n;若不存在，请说明理由 20(本小题满分 16 分) 若函数( ) xx f xeaemx ()mR为奇函数，且 0 xx时( )f x有极小值 0 ()f x （1）求实数a的值； （2）求实数m的取值范围； （3）若 0 2 ()f x e 恒成立，求实数m的取值范围 y 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 5 页（共 4 页） 南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1(,0 25 3 2 3 4真 56 62 72 3 83 9 2 3 107 11 3 3 12 10 134 14 1 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15解： （1）由sin()2cos 6 BB 可知BBBcos2cos 2 1 sin 2 3 ， 移项可得3tanB，又), 0(B，故 3 B， 2 分 又由 6 cos 3 C ，), 0(C可知 3 3 cos1sin 2 CC， 4 分 故 在A B C中 ， 由 正 弦 定 理 C c B b sinsin 可 得 C ABAC sin 3 sin ， 所 以 2AB. 7 分 （2）由（1）知 3 B，所以0, 3 A 时，) 3 , 0( 3 A， 由 4 cos 5 BA即 5 4 ) 3 cos( A 可得 5 3 ) 3 (cos1) 3 sin( 2 AA ， 10 分 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 6 页（共 4 页） 10 334 5 3 2 1 5 4 2 3 ) 3 sin( 3 cos) 3 cos( 3 sin) 3 ( 3 sin(sin AAAA .14 分 16 （1）证明：连结AC交BD于点O，连结OP ， 又因为 1/ / AC 平面PBD， 1 AC平面 1 ACC 平面 1 ACC平面OPBDP ，所以 1/ / ACOP 3 分 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O ， 所以点O是AC的中点，所以AOOC ， 所以在 1 ACC 中， 1 1 PCAO PCOC . 6 分 （2）证明：连结 11 AC. 因为 1111 ABCDABC D 为直四棱柱，所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD ， 又BD平面ABCD，所以 1 CCBD 8 分 因为底面ABCD是正方形，所以ACBD 10 分 又 1 ACCCCI，AC 面 11 ACC A， 1 CC 面 11 ACC A， 所以BD 面 11 ACC A. 12 分 又因为 1111 ,PCC CCACC A面,所以 11 PACC A面 ，又因为 111 AACC A面 ， 所以 A1P 面 ACC1A1 ,所以 1 BDA P 14 分 17解： （1）设Pe半径为r，则)2(4rAB， 所以Pe的周长 2 )2(41622rBCr， 4 分 解得 4 16 2 r，故Pe半径的取值范围为 4 16 , 0( 2 . 6 分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(4 22 rrABrV， 8 分 设函数),2()( 2 xxxf 4 16 , 0( 2 x， 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 所以 2 34)(xxxf，由于 3 4 4 16 2 ， 所以( )0fx在定义域上恒成立， 故( )f x在定义域上单调递增， 即当 4 16 2 r时，体积取到最大值. 13 分 答 ：Pe半 径 的 取 值 范 围 为 4 16 , 0( 2 ， 当 4 16 2 r时 ， 体 积 取 到 最 大 值. 14 分 18.解： （1）由当 2 PFx轴时 0 1x ，可知1c ， 2 分 将 0 1x ， 0 ye代入椭圆方程得 2 22 1 1 e ab （） ， 而 1c e aa ， 2222 1baca，代入（）式得 222 11 1 (1)aa a ， 解得 2 2a ，故 2 1b ，椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y.4 分 （2）方法一：设 11 ( ,)A x y，由 11 AFFP uuuruuu r 得 10 10 1(1)xx yy ，故 10 10 1xx yy ， 代入椭圆的方程得 2 2 0 0 (1) ()1 2 x y （） ， 8 分 又由 2 2 0 0 1 2 x y得 2 2 0 0 1 2 x y ，代入（）式得 222 00 1 (1)2(1)2 2 xx， 化简得 2 0 321 2 (1)0 x ，即 0 (1)(31 2)0 x ，显然10 ， 0 3120 x ，故 0 1 32x .12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 1162 3232943xxx ， 当且仅当 0 0 x 时取等号，故的最小值为 2 3 . 16 分 方法二： 由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合， 故可设直线PA的方程为1xmy， 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 8 页（共 4 页） 联立 2 2 1 2 1 x y xmy ，消去x得 22 (2)210mymy （） ， 设 11 ( ,)A x y，则 1 y与 0 y为方程（）的两个实根， 由求根公式可得 2 0,1 2 22 2 mm y m ，故 01 2 1 2 y y m ，则 1 2 0 1 (2) y my ，8 分 将点 00 (,)P xy代入椭圆的方程得 2 2 0 0 1 2 x y， 代入直线PA的方程得 00 1xmy， 0 0 1x m y ， 由 11 AFFP uuuruuu r 得 10 yy，故 1 0 y y 22 22 0 0 0 0 11 1 (2) ()2 x my y y 22 22 000 00 111 1 (1)232 (1)2(1) 2 xyx xx .12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 1162 3232943xxx ， 当且仅当 0 0 x 时取等号，故的最小值为 2 3 . 16 分 注： （1）也可设( 2cos ,sin )P得 1 32 2cos ，其余同理. （2）也可由 11 6 运用基本不等式求解的最小值. 19解： （1） 2 4b ，且数列 n b是“ M q数列”， 32 21 74 1 4 1 bb q bb ， 1 1 1 nn nn bb bb ， 11nnnn bbbb ，2 分 故数列 n b是等差数列，公差为 21 3bb， 故通项公式为1 (1) 3 n bn ，即32 n bn. 4 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 9 页（共 4 页） 分 （2）由 1 1 2 2 nn bSn 得 2 3 2 b， 3 437b，故1. 方法一：由 1 1 21 2 nn bSn 得 21 1 2(1) 1 2 nn bSn ， 两式作差得 211 1 2 2 nnn bbb ，即 21 1 3 2 nn bb ， 又 2 5 2 b ， 21 1 3 2 bb， 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立，6 分 则 1 11 3() 44 nn bb ，而 1 13 0 44 b ， 1 0 4 n b ， 1 1 4 3 1 4 n n b b ， 1 4 n b 是等比数列， 8 分 1 111 (1) 33 444 nn n b ， 11 3 44 n n b ， 21 21 1 1 1111 (3)(3) 4444 3 1111 (3)(3) 4444 nn nn nn nn bb bb ， 1nn bb 是公比为3的等比数列，故数列 n b是“ M q数列”.10 分 方法二：同方法一得 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立， 则 21 1 3 2 nn bb ，两式作差得 211 3() nnnn bbbb ，而 21 3 0 2 bb， 1 0 nn bb ， 21 1 3 nn nn bb bb ，以下同方法一. 10 分 （3）由数列 n b是“ 2M数列”得 1 121 () 2n nn bbbb ， 又 32 21 2 bb bb ， 2 2 7 2 1 b b ， 2 3b ， 21 2bb， 1 2n nn bb ， 当2n 时， 112211 ()()() nnnnn bbbbbbbb L 12 222 121 nnn L ， 当1n 时上式也成立， 故21 n n b ， 12 关注公众号：加油高三 获取等多资料 高三数学试题第 10 页（共 4 页） 分 假设存在正整数,m n使得 40394040 20192019 m n b b ，则 4039214040 2019212019 m n ， 由 214039 1 212019 m n 可知2121 mn ，mn，又,m n为正整数，1mn， 又 212(21)21214040 2 2121212019 mm nnm nm n m n nnn ， 4040 23 2019 m n ，1mn， 211 2 2121 m nn ， 403914040 2 2019212019 n ， 20202 2 2021 n ，10n ，11m ， 故存在满足条件的正整数,m n，11m ，10n . 16 分 20解： （1）由函数 )(xf 为奇函数，得 0)()(xfxf 在定义域上恒成立， 所以 0 mxaeemxaee xxxx ， 化简可得 0)()1 ( xx eea，所以1a. 3 分 （2）法一：由（1）可得mxeexf xx )( ， 所以 x xx xx e mee meexf 1 )( 2 ， 其中当2m时，由于01 2 xx mee恒成立， 即 0)( x f 恒成立，故不存在极小值. 5 分 当2m时，方程01 2 mtt有两个不等的正根)(, 2121 tttt ， 故可知函数mxeexf xx )(在),(ln),ln,( 21 tt上单调递增， 在)ln,(ln 21 tt上单调递减，即在 2 lnt处取到极小值， 所以，m的取值范围是 ),