2016年河南省开封市高考数学四模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年河南省开封市高考数学四模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 iz=i+z，则 z=（ ） A + i B i C i D + i 2集合 ，则 AB 的子集个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 8 个 3下列结论正确的是（ ） A命题 P： x 0，都有 0，则 p： 0，使得 0 B若命题 p 和 p q 都是真命题，则命题 q 也是真 命题 C在 ， a， b， c 是角 A， B， C 的对边，则 a b 的充要条件是 命题 “若 x2+x 2=0，则 x= 2 或 x=1”的逆否命题是 “x 2 或 x 1，则 x2+x 2 0” 4已知数列 等比数列， 1 和 3 的等差中项，则 ） A 16 B 8 C 2 D 4 5已知 1253，则 ） A B C D 6按如程序框图，若输出结果为 170，则判断框内应补充的条件为（ ） A i 5 B i 7 C i 9 D i 9 7已知函数 f（ x） =x R， 0）的最小正周期为 ，为了得到函数的图象，只要将 y=f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 8甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则 x： y 为（ ） A 3： 2 B 2： 3 C 3： 1 或 5： 3 D 3： 2 或 7： 5 第 2 页（共 21 页） 9若椭圆 +（ m 1）与双曲线 （ n 0）有共同的焦点 P 是两曲线的一个交点，则 面积是（ ） A 3 B 1 C D 10如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积 为（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 11若非零向量 与向量 的夹角为钝角， | |=2，且当 t= 时， | t |取最小值 向量 满足（ ） （ ），则当 取最大值时， | |等于（ ） A B 2 C 2 D 12设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x）， x R，有 f（ x） +f（ x） =（ 0， +）上 f（ x） x，若 f（ 4 m） f（ m） 8 4m则实数 m 的取值范围为（ ） A 2， 2 B 2， +） C 0， +） D（ ， 2 2， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13二项式（ 1+x） n（ n N*）的展开式中 系数为 15，则 n=_ 14已知函数 f（ x） = （其中 e 为自然对数的底数），则函数 y=f（ f（ x）的零点等于 _ 15在三棱锥 P ， 底面 ， ， 0，体积为 ，则三棱锥的外接球的体积等于 _ 16在 ， 角 A、 B、 C 所对边的长为 a、 b、 c，设 上的高，且 AD=a，则 + 的最大值是 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17已知等比数列 公比 q 1，前 n 项和为 ，且 ， 3 成等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 3n 2） 数列 前 n 项和 第 3 页（共 21 页） 18为了解某校高三毕业班报考体育专 业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图已知图中从左至右前 3 个小组的频率之比为 1： 2： 3，其中第 2 小组的频数为 12 （ ）求该校报考体育专业学生的总人数 n； （ ）已知 A， B， C， a 是该校报考体育专业的 4 名学生， A， B， C 的体重小于 55 千克，a 的体重不小于 70 千克且 A， B 各有 5 分体育加分， C， a 各有 10 分体育加分其他学生无体育加分，从体重小于 55 千克的学生中抽取 2 人，从体重不小于 70 千克的学生中抽取 1人，组成 3 人训练组，训练组中 3 人的体育总加分记为 ，求 的分布 列和数学期望 19如图，已知长方形 ， M 为 中点将 起，使得平面 平面 （ ）求证： （ ）若 E 是线段 的中点，求 平面 成角的正弦值 20已知动圆 Q 过定点 F（ 0， 1），且与直线 l： y=1 相切，椭圆 N 的对称轴为坐标轴， F 是其一个焦点，又点 A（ 0， 2）在椭圆 N 上 （ ）求动圆圆心 Q 的轨 迹 M 的标准方程和椭圆 N 的标准方程； （ ）若过 F 的动直线 m 交椭圆 N 于 B， C 点，交轨迹 M 于 D， E 两点，设 面积，令 Z=求 Z 的最小值 21已知函数 f（ x） =1 ， x R （ ）若 a= ，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意 x 0 都有 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； 第 4 页（共 21 页） （ ）设函数 F（ x） =f（ x） +f（ x） +2+证： F（ 1） F（ 2） F（ n） （ +2）（ n N*） 选修 4面几何选讲 22如图，过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交 B， C 两点，且 直线 圆 E 相切于点 F，连接 点 D，己知圆 E 的半径为 2， （ 1）求 长； （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 a 0），过点 P（ 2， 4）的直线 l 的参数方程为（ t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点 （ ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （ ）若 |，求 a 的值 选修 4 等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+2| 2|x 1| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）对任意 x a， +），都有 f（ x） x a 成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年河南省开封市高考数学四模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 iz=i+z，则 z=（ ） A + i B i C i D + i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 iz=i+z，得（ 1 i） z= i，即 z= 故选： C 2集合 ，则 AB 的子集个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 8 个 【考点】 交集及其运算；子集与真子集 【分析】 由题意和交集的运算求出 AB，利用结论求出集合 AB 的子集的个数 【解答】 解：集合 A=x N|x 1| 1=0， 1， 2， B=x|y= = 1， 1， AB=0， 1， 集合 AB 的子集个数为 22=4， 故选： C 3下列结论正确的是（ ） A命题 P： x 0，都有 0，则 p： 0，使得 0 B若命题 p 和 p q 都是真命题，则命题 q 也是真命题 C在 ， a， b， c 是角 A， B， C 的对边，则 a b 的充要条件是 命题 “若 x2+x 2=0，则 x= 2 或 x=1”的逆否命题是 “x 2 或 x 1，则 x2+x 2 0” 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 写出全程命题的否定判断 A；由复合命题的真假判断说明 B 错误；在三角形中，由大边对大角结合余弦函数的单调性判断 C；直接写出原命题的逆否命题判断 D 【解答】 解：对于 A、命题 P： x 0，都有 0，则 p： 0，使得 0故 A 错误； 对于 B、若命题 p 和 p q 都是真命题，则命题 q 可能是真命题，也可能是假命题故 B 错误； 对于 C、在 ， a， b， c 是角 A， B， C 的对边， a bA B，由余弦函数在（ 0， ）上为减函数，则 C 正确； 第 6 页（共 21 页） 对于 D、命题 “若 x2+x 2=0，则 x= 2 或 x=1”的逆否命题是 “x 2 且 x 1，则 x2+x 2 0”故 D 错误 故选： C 4已知数列 等比数列， 1 和 3 的等差中项，则 ） A 16 B 8 C 2 D 4 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】 解： 1 和 3 的等差中项， 2+3， 由等比数列 性质可得： =4， 故选： D 5已知 1253，则 ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用辅助角公式将函数进行化简，得到 =+ +2用三角函数的诱导公式进行化简求值即可 【解答 】 解：由 1253， 得 ， 设 ，则 ，则 = ， 则方程等价为 ） =1， 则 = +2k Z； 即 =+ +2k Z，则 + +2=+ ） = = ； kZ； 故选： B 6按如程序框图，若输出结果为 170，则判断框内应补充的条件为 （ ） A i 5 B i 7 C i 9 D i 9 【考点】 循环结构 【分析】 根据输出结果为 170，然后判定 S、 i，不满足条件，执行循环体，当 S、 i 满足条件时，退出循环体，从而得到判断框内应补充的条件 【解答】 解： S=0+2=2， i=1+2=3，不满足条件，执行循环体； 第 7 页（共 21 页） S=2+8=10， i=2+3=5，不满足条件，执行循环体； S=10+32=42， i=5+2=7，不满足条件，执行循环体； S=42+128=170， i=7+2=9，满足条 件，退出循环体， 故判断框内应补充的条件为 i 9 故选： D 7已知函数 f（ x） =x R， 0）的最小正周期为 ，为了得到函数的图象，只要将 y=f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由已知中已知函数 f（ x） =x R， 0）的最小正周期为 ，我们易得到函数 f（ x）、 g（ x）的解析式，根据函数图象平移变换的法则，我们可以求出平移量，进而得到答案 【解答】 解：由函数 f（ x） =x R， 0）的最小正周期为 ，可得 =2 则 设将 y=f（ x）的图象向左平行 a 个单位得到函数 的图象 则 即 2a= 解得 a= 故选 C 8甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则 x： y 为（ ） A 3： 2 B 2： 3 C 3： 1 或 5： 3 D 3： 2 或 7： 5 【考点】 茎叶图 【分析】 根据甲乙两人的平均数 与中位数分别相等，构造方程求出满足条件的 x 值，可得答案 【解答】 解： 甲乙两人的平均数相等， = ， 又 甲乙两人的中位数相等， 第 8 页（共 21 页） ，（ 1 x 5， y 3） 或 =y，（ x 5， y 3） 或 ，（ 1 x 5， y 3） 或 =3，（ x 5， y 3） 解得： x=3， y=2，或 x=7， y=5， 故 x： y=3： 2，或 x： y=7： 5， 故选： D 9若椭圆 +（ m 1）与双曲线 （ n 0）有共同的焦点 P 是两曲线的一个交点，则 面积是（ ） A 3 B 1 C D 【考点】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为 2c，椭圆的长轴长 2 ，双曲线的实轴长为 2 ，由它们有相同的焦点，得到 m n=2根据双曲线和椭圆的定义可得|2 ， | |2 ， ，由三边的关系得出其为直角三角形，由 面积公式即可运算得到结果 【解答】 解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为 2c， 椭圆的长轴长 2 ，双曲线的实轴长为 2 ， 由它们有相同的焦点，得到 m 1=n+1，即 m n=2 不妨令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义 | |2 ， 由椭圆的定义 |2 ， 2+2 得 |+|=2（ m+n）， 即有 |m n=2， 又 |2 ， 可得 |+|=4（ m 1）， |=4（ m 1），即 |+|=|， 则 形状是直角三角形 即有 面积为 | 2=1 故选： B 10如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为（ ） 第 9 页（共 21 页） A 4 B 4 C 8 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，从而求得该四棱锥的 四个侧面中面积最小的一个侧面的面积 【解答】 解：根据三视图可得此棱锥的高为 ，底面为直角梯形， 且 ， 且 正方形，如图所示： 故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为 的面积为 O= 24=4， 故选： A 11若非零向 量 与向量 的夹角为钝角， | |=2，且当 t= 时， | t |取最小值 向量 满足（ ） （ ），则当 取最大值时， | |等于（ ） A B 2 C 2 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 = + ，根据当 t= 时， | t |取最小值 可得 = ， =3，解得 =2， = 2，可得= 不妨设 =（ 1， ）， =（ 2， 0）， =（ x， y）根据向量 满足（ ） （ ），第 10 页（共 21 页） 可得（ ） （ ） =0，可得 + =3令 =x+ y=t当上述直线与圆相切时，可得 t= ，取 t=2+2 时， 取最大值直线方程与圆的方程联立解得（ x， y），即可得出 【解答】 解： = + = + ， 当 t= 时， | t |取最小值 = ， =3， 解得 =2， = 2， = 2， = ， = 不妨设 =（ 1， ）， =（ 2， 0）， =（ x， y） 向量 满足（ ） （ ）， （ ） （ ） =（ x 2， y） （ x+1， ） =（ x 2）（ x+1） +y（ y ） = + 3=0， + =3（ *） =（ x， y） （ 1， ） =x+ y 令 t=x+ y 当上述直线与（ *）相切时， = ，解得 t= ， 取 t=2+2 时， 取最大值 此时联立 ， 第 11 页（共 21 页） 解得 ， = | |= = 故选： A 12设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x）， x R，有 f（ x） +f（ x） =（ 0， +）上 f（ x） x，若 f（ 4 m） f（ m） 8 4m则实数 m 的取值范围为（ ） A 2， 2 B 2， +） C 0， +） D（ ， 2 2， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 令 g（ x） =f（ x） g（ x） +g（ x） =0，可得函数 g（ x）为奇函数利用导数可得函数 g（ x）在 R 上是减函数， f（ 4 m） f（ m） 8 4m，即 g（ 4 m） g（ m），可得 4 m m，由此解得 a 的范围 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） g（ x） +g（ x） =f（ x） x2+f（ x） ， 函数 g（ x）为奇函数 x （ 0， +）时， g（ x） =f（ x） x 0， 故函数 g（ x）在（ 0， +）上是减函数，故函数 g（ x）在（ ， 0）上也是减函数， 由 f（ 0） =0，可得 g（ x）在 R 上是减函数， f（ 4 m） f（ m） =g（ 4 m） + （ 4 m） 2 g（ m） m2=g（ 4 m） g（ m） +8 4m 8 4m， g（ 4 m） g（ m）， 4 m m，解得： m 2， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13二项式（ 1+x） n（ n N*）的展开式中 系数为 15，则 n= 6 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 求得二项式展开式的通项公式 = r=4， 可得 =15，结合组合数公式，解方程可得 n=6 【解答】 解：二项式（ 1+x） n（ n N*）的通项公式为 = 由二项式（ 1+x） n（ n N*）的展开式中 系数为 15， 可得 =15，即 =15， 可得 n（ n 3） （ n 1）（ n 2） =360， 第 12 页（共 21 页） 即为（ 3n） 2+2（ 3n） 360=0， 即有 3n= 20，或 3n=18， 由 n 为正整数，可得 n=6 故答案为： 6 14已知函数 f（ x） = （其中 e 为自然对数的底数），则函数 y=f（ f（ x）的零点等于 e 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 令 f（ x） =t， y=f（ t），利用零点，解方程，即可求出函数 y=f（ f（ x）的零点 【解答】 解：令 f（ x） =t， y=f（ t）， 由 f（ t） =0，可得 t=1， 由 f（ x） =1，可得 x=e， 函数 y=f（ f（ x）的零点等于 e， 故答案为： e 15在三棱锥 P ， 底面 ， ， 0，体积为 ，则三棱锥的外接球的体积等于 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 利用三棱锥的体积公式，求出 余弦定理求出 得 接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥 P 外接球的体积 【解答】 解 ： 三棱锥 P ， 底面 ， ， 0，体积为 ， = ， ， ， 0， 由余弦定理可得 = ， 设 接圆的半径为 r，则 2r= =2， r=1， 设球心到平面 距离为 d，则由勾股定理可得 R2=2=12+（ 2 d） 2， d=1， ， 三棱锥 P 外接球的体积为 故答案为： 第 13 页（共 21 页） 16在 ，角 A、 B、 C 所对边的长为 a、 b、 c，设 上的高，且 AD=a，则 + 的最大值是 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 利用三角形的两个面积公式和等面积法列出方程表示出 余弦定理表示出简后求出 的表达式，利用辅助角公式化简，利用正弦函数的最大值求出的最大值 【解答】 解： 上的 高，且 AD=a， 面积 S= ，则 ， 由余弦定理得， = （ ） ， =2（ +=A+）， 其中 ， ， 当 A+） =1 时， 取到最大值是 ， 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17已知等比数列 公比 q 1，前 n 项和为 ，且 ， 3 成等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 3n 2） 数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ ）利用已知条件，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项 （ ）由于 有一等差数列与等比数列的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前 【解答】 解：（ ） ， a1+a2+， ， 3 成等差数列， +=6 a2=， ， 又由 a1+a2+ 可得 a1+， 由 可得 25q+2=0， 解得 q=2 或 q= （舍去）， ， n 1 （ ） 3n 2） 3n 2） 2n 1， 20+4 21+7 22+（ 3n 2） 2n 1， 2 21+4 22+7 23+（ 3n 5） 2n 1+（ 3n 2） 2n， 第 14 页（共 21 页） 两式相 减得 20+3 21+3 22+3 2n 1（ 3n 2） 2n， 3n 5） 2n+5， n N+ 18为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图已知图中从左至右前 3 个小组的频率之比为 1： 2： 3，其中第 2 小组的频数为 12 （ ）求该校报考体育专业学生的总人数 n； （ ）已知 A， B， C， a 是该校报考体育专业的 4 名学生， A， B， C 的体重小于 55 千克，a 的体重不小于 70 千克且 A， B 各有 5 分体育加分， C， a 各有 10 分 体育加分其他学生无体育加分，从体重小于 55 千克的学生中抽取 2 人，从体重不小于 70 千克的学生中抽取 1人，组成 3 人训练组，训练组中 3 人的体育总加分记为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）根据频率分布直方图，利用频率 = ，即可求出 n 的值； （ ）计算体重小于 55 千克的人数与体重不小于 70 千克的人数，得出 的可能取值，计算对应的概 率值，列出 的分布列，求出数学期望值 【解答】 解：（ ）设该校报考体育专业学生的总人数为 n，前 3 个小组的频率分别为 p1、 则由题意知， p1+p2+ 5=1， 解得 又因为 ，解得 n=48； （ ）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于 55 千克的人数为 48 ， 记它们分别为 A、 B、 C、 D、 E、 F， 体重不小于 70 千克的人数为 48 5=3，分别记为 a、 b、 ； 则 =0， 5， 10， 15， 20， 25； P（ =0） = = ， P（ =5） = = ， P（ =10） = + = ， P（ =15） = + = ， 第 15 页（共 21 页） P（ =20） = + = ， P（ =25） = = ， 则 的分布列为 0 5 10 15 20 25 P 的数学期望为 E（ ） =0 +5 +10 +15 +20 +25 =10 19如图，已知长方形 ， M 为 中点将 起，使得平面 平面 （ ）求证： （ ）若 E 是线段 的中点，求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ I）根据平面几何知识得出 据面面垂直的性质得出 平面 是 （ M 为原点，以 平面 垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，设，求出 和平面 法向量 ，则 | |即为所求 【解答】 证明：（ I） 四边形 矩形， M 为 中点， M= 平面 平面 面 面 M， 面 平面 面 （ M 作平面 垂线 以 M 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设 ，则 M= ， 则 M（ 0， 0， 0）， A（ ， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， D（ ， 0， ）， E（ ， ， ） =（ ， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（ ， 0， ） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， 第 16 页（共 21 页） 即 ，令 z=1 得 =（ 1， 0， 1） = ， = = 平面 成角的正弦值为 20已知动圆 Q 过定点 F（ 0， 1），且与直线 l： y=1 相切，椭圆 N 的对称轴为坐标轴， F 是其一个焦点，又点 A（ 0， 2）在椭圆 N 上 （ ）求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的标准方程和椭圆 N 的标准方程； （ ）若过 F 的动直线 m 交椭圆 N 于 B， C 点，交轨迹 M 于 D， E 两点，设 面积，令 Z=求 Z 的最小值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由抛物线的定义可得动点 Q 的轨迹 M 的标准方程，由题意可得 c=1， a=2，求得 b，进而得到椭圆方程； （ ）显然直线 m 的斜率存在，不妨设直线 m 的直线方程为： y=1，分别代入抛物 线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值 【解答】 解：（ ）依题意，由抛物线的定义易得动点 Q 的轨迹 M 的标准方程为： 4y， 依题意可设椭圆 N 的标准方程为 ， 显然有 ， 椭圆 N 的标准方程为 ； 第 17 页（共 21 页） （ ）显然直线 m 的斜率存在， 不妨设直线 m 的直线方程为： y=1 联立椭圆 N 的标准方程 有（ 3） 69=0， 设 B（ C（ 则有 ， 又 A（ 0， 2）到直线 m 的距离 ， ， 再将 式联立抛物线方程 4y 有 4=0， 同理易得 ， ， ， 当 k=0 时， 21已知函数 f（ x） =1 ， x R （ ）若 a= ，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意 x 0 都有 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）设函数 F（ x） =f（ x） +f（ x） +2+证： F（ 1） F（ 2） F（ n） （ +2）（ n N*） 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ）求出导函数，对导函数二次求导，得出导函数的最小值为 0，判断原函数递增； （ ）二次求导，得出导函数递增，对 1 a 进行分类讨论，得出 a 的范围； （ ）求出 F（ x） =ex+e x，利用放缩法判断得出 F（ 1） F（ n） +2， F（ n） F（ 1） +2最后得出结论 第 18 页（共 21 页） 【解答】 （ ）解： ，令 g（ x） =f（ x），则 g（ x） =1， 则当 x （ ， 0）时， g（ x） 0， f（ x）单调递减， 当 x （ 0， +）时， g（ x） 0， f（ x）单调递增 所以有 ，所以 f（ x）在（ ， +）上递增 （ ）解：当 x 0 时， f（ x） =x a，令 g（ x） =f（ x）， 则 g（ x） =1 0，则 f（ x）单调递增， f（ x） f（ 0） =1 a 当 a 1 即 f（ x） f（ 0） =1 a 0 时， f（ x）在（ 0， +）上递增， f（ x） f（ 0） =0 成立； 当 a 1 时，存在 （ 0， +），使 f（ =0， 则 f（ x）在（ 0， 递减，则当 x （ 0， ， f（ x） f（ 0） 0，不合题意 综上 a 1 （ ）证明： F（ x） =ex+e x， F（ 1） F（ n） +2， F（ 2） F（ n 1） +2 F（ n） F（ 1） +2 由此得， F（ 1） F（ 2） F（ n） 2=F（ 1） F（ n） F（ 2） F（ n 1） F（ n） F（ 1） （ +2） n 故 （ n N*） 选修 4面几何选讲 22如图，过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交 B， C 两点，且 直线 圆 E 相切于点 F，连接 点 D，己知圆 E 的半径为 2， （ 1）求 长； （ 2）求证： 【考点】 相似三角形的判定；与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）延长 圆 E 于点 M，连结 可求 ， ，利用切割线定理即可求得 值 （ 2）过 E 作 H，可知 似，由 ，可求 第 19