《3.1.1特征值和特征向量》习题集2

3.1.1 特征值与特征向量习题21求矩阵M的特征值和特征向量2. 已知矩阵M的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量3. 已知矩阵M，向量，.(1)求向量23在矩阵M表示的变换作用下的象；(2)向量是矩阵M的特征向量吗？为什么？4. 已知矩阵A，设向量，试计算A5的值5. 已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量6. 已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量1，属于特征值1的一个特征向量2，求矩阵A，并写出A的逆矩阵7. 已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90.(1)求矩阵A及A的逆矩阵B；(2)已知矩阵M，求M的特征值和特征向量；(3)若在矩阵B的作用下变换为，求M50.(结果用指数式表示)8. 已知二阶矩阵M的一个特征值8及与其对应的一个特征向量1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程9. 给定矩阵M，N及向量1，2.(1)求证M和N互为逆矩阵；(2)求证1和2都是矩阵M的特征向量10给定矩阵M及向量.(1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量1，2；(2)确定实数a，b，使向量可以表示为a1b2；(3)利用(2)中的表达式计算M3，Mn；(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？参考答案1.【解】矩阵M的特征多项式f()(1)(6)令f()0，解得矩阵M的特征值11，26.将11代入方程组易求得为属于11的一个特征向量将26代入方程组易求得为属于26的一个特征向量综上所述，M的特征值为11，26，属于11的一个特征向量为，属于26的一个特征向量为.2【解】矩阵M的特征多项式为f()(1)(x)4因为13为方程f()0的一根，所以x1由(1)(1)40得21，设21对应的一个特征向量为，则由得xy令x1，则y1.所以矩阵M的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为.3 【解】(1)因为2323，所以M(23)，所以向量23在矩阵M表示的变换作用下的象为.(2)向量不是矩阵M的特征向量理由如下：M，向量与向量不共线，所以向量不是矩阵M的特征向量4 【解】矩阵A的特征多项式为f()2560，解得12，23.当12时，得1；当23时，得2，由m1n2，得，得m3，n1，A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.5【解】(1)，a4.(2)A，f()223.令f()0，得11，23，对于特征值11，解相应的线性方程组得一个非零解，因此1是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量对于特征值23，解相应的线性方程组得一个非零解，因此2是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量矩阵A的特征值为11，23，属于特征值11，23的特征向量分别为，.6 【解】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量1，可知6，所以cd6，由矩阵A属于特征值1的一个特征向量2，可知，所以3c2d2.联立可得解得即A，A的逆矩阵A1.7【解】(1)A；BA1.(2)设M的特征值为，则由条件得0，即(3)(4)62760.解得11，26.当11时，由，得M属于1的特征向量为1；当26时，由6，得M属于6的特征向量为2.(3)由B，得，设m1n2mn，则由解得所以122.所以M50M50(122)M5012M5022650.8【解】(1)设矩阵M，则8，故由题意得，故联立以上两方程组可解得故M.(2)由(1)知矩阵M的特征多项式f()(6)(4)821016.令f()0，解得矩阵M的另一个特征值2.设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量2，则M22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的作用下对应的点的坐标为(x，y)，则，即代入直线l的方程并化简得xy20，即直线l的方程为xy20.9 【证明】(1)因为MN，NM，所以M和N互为逆矩阵(2)向量1在矩阵M的作用下，其象与其共线，即，向量2在矩阵M的作用下，其象与其共线，即，所以1和2都是M的特征向量10.【解】(1)矩阵M的特征多项式f()(2)(1)30(7)(4)令f()0，解得矩阵M的特征值14，27.易求得属于特征值14的一个特征向量1，属于特征值27的一个特征向量2.(2)由(1)可知ab，