几何与线性代数习题册

1习题一几何向量及其运算姓名学号班级一、填空题1下列等式何时成立1），当；2），当；3），当；4），（为非零向量），当；,5），当。2指出下列向量组是线性相关还是线性无关1）是；2）不平行，是；,3）共面，是；,4）不共面，是。,3在空间直角坐标系中，点关于关于平面的对称点是；关于2,35MYOZ原点的对称点是；关于轴的对称点是；在平面上的投影ZXOY点坐标是；在轴上的投影点是；到平面的距离是YZ；到原点的距离是；到轴的距离是。X二、设为线段上任一点，证明存在数，使得。,OABPAB1OP三、已知向量，证明共面。31321,EEE,2四、判断题1若，且，则。（）2共面的充分必要条件是。（）,03。（）,SIN4。（）五、填空题1已知向量，则4,3,2的夹角和1）；2）；3）。22已知，其中，则三角形的,ADB6,5ABD面积。S六、已知。问21,31）为何值时，与平行；2）为何值时，与垂直。七、已知与垂直，且，计算提示3,4,1）；2）；3）。23习题二向量及其运算的坐标计算姓名学号班级一、填空题1平行于轴的向量一般表示式是。Y2向量，它们的夹角。4,131,2,3向量，当与时，与平行。T6T1T2T4设三力，作用于一质点，使质点产生的位移向1,0F2,33,F量，则合力所做的功。2SIJKW5三角形的三个顶点为，其面积。1,0,1ABCS6和向量都垂直的单位向量是。KJIKJI23二、已知向量，求的方向余弦及与平行的单位向量。,5三、证明向量在上的投影向量为，并求向量在向量上的投2,311,2影向量。4四、向量是否共面若不共面，试计算以这三个向量为棱3,21,0,238所作的平行六面体体积。五、设向量共面，且求。1,02,1，,PRR3,OJJ5习题三平面与直线姓名学号班级一、填空题1平行于平面且与此平面的距离为3的平面方程0362145ZYX是。2如果平面与平行，则；A052ZYXA若垂直，则。3过三点的平面方程是。1,0,1,ABC4过轴且垂直于平面的平面方程是。X035ZYX5点A2,3,1到平面的距离是。6通过点和且平行于轴的平面方程为。1,21BY7过点的直线方程是。3032M和8过点且垂直于直线的平面方程是。,322ZYX9过点且垂直于平面的直线方程是，1009点在此平面上的投影点坐标是；点关于此平面的对称点坐标是。M二、求满足下列条件的平面方程1过原点引平面的垂线，垂足是点的平面方程。1,22通过点且平行于向量的平面方程。3,1A4,301,2及6三、求过点且通过直线的平面方程。2,13ZYX2354四、求点到直线的距离。2,13041ZYX五、求两异面直线之间的距离。1241322654XYZXYZLL7习题四线性方程组姓名学号班级一、用加减消元法求解下列线性方程组102431X2123451XX8二、对非齐次线性方程组，当A，B为何值时无解何值时有无穷多解1234X三、液态苯在空气中可以燃烧。如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部，则水蒸气就会在物体上凝结，同时烟灰（碳）也会在物体上沉积这个化学反应的方程式为162342CHXOXCH求变量以配平该方程。234,9习题五矩阵的运算姓名学号班级一、填空题1设，则当且仅当时，。2EBA2BA22的充分必要条件是。A3设，则；时，。1/3CDCD2O4。460130123702158105；13030280KABC。1230ABC二、设，计算；及（为正整数）。（提示3,12,23TATB4AK用矩阵乘法的结合律）TA10三、设验证是否成立120,3AB221ABBAB四、若A,B满足，则称B和A可交换。设求所有与可交换的矩阵。1,0A五、设，记为方阵的多项式，即，若2XFAF2FAE，计算。01AF六、把向量方程改写成方程组的形式和矩阵乘积的形式。2131002XX11习题六对称矩阵与分块矩阵姓名学号班级一、1）设、为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。ABNAABT2）设、均为阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是。BA二、设为维列向量，且，设证明是对称矩阵且N1T2,TAEA2E三、设，计算。10AA32,KA12四、设，按照不同的分块方式计算乘积10102,ABAB（1）不分块，按列分块；（2）按行分块，不分块；（3）按行分块，按列分块。AB习题七行列式的性质与计算姓名学号班级13一、填空题1设，则。12133A132123AA2设，则，。01ABB二、选择题1设为阶方阵，若经过若干次初等变换变成矩阵，则下面的结论正确的是（）。ANAB；若则必有；|B|0,|0；若则必有。|CD|2若A，B为同阶方阵，则有（）；KK|BAB；。22EABCE|D三、计算下列行列式（1）（2）EFCFBDA30124536143（提示按一行或一列展开，求递推公式）BABABADN0000四、用数学归纳法证明NDNCOS2100COS0COS21015习题八逆矩阵（一）姓名学号班级一、填充题1设为3阶方阵，且，则，A2A1A，；。1232设，则；。1021AA1N3设，则。23014如分别是阶和阶可逆矩阵，为阵，则。BA,MNCNM10BCA5设A，且，则。1326AE1二、选择题1设阶方阵满足，则下面的结论正确的是（）。N,BC；。AEACBEDACE2设为阶方阵，则（）,若都可逆，则必可逆；若都不可逆，则必不可逆；B,B若可逆，则都可逆；若不可逆，则都不可逆。CA,DAB,3已知为N阶方阵，若有N阶方阵B使则（）（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（D）不一定。1C4若为同阶方阵，且满足，则有（）,AO（A）或；（B）|A|0或|B|0；O16（C）；（D）A与B均可逆；22BA三、求下列矩阵的逆矩阵（1）（2）021413四、解矩阵方程。15432102X17习题九逆矩阵二姓名学号班级一、设矩阵满足如下关系式，其中，求矩阵。BA,BA2320B二、设阶矩阵和满足，证明1）为可逆矩阵；2）。NABABEBA18三、设N阶方阵A满足方程，求。230AE11,AE四、用克莱姆法则求解线性方程组283940213X19习题十秩与初等变换姓名学号班级一、选择题1若是阶可逆矩阵，则（）AN（A）若，则（B）总可以经过初等行变换化。CBAE（C）对矩阵实施若干次初等变换，当变为时，相应地正变为。EA1A（D）对矩阵实施若干次初等变换，当变成时，相应地变为。E12设，32311AA13123132AAB，则恒有（）01P02P（A）（B）（C）（D）21A12BAP21BAP123设均为N阶非零矩阵，且，则和满足（）。,OR（A）必有一个等于零；（B）都等于N；（C）一个小于N，一个等于N；（D）都小于N。4设阶矩阵的秩为R，则下列结论错误的是（）。M（A）有R阶子式非零；（B）的所有R1阶子式为零；A（C）没有R阶子式为零；（D）。MIN,R5方程组必（）。3510X（A）无解；（B）仅有零解；（C）有非零解；（D）以上都不对。二、填空题201。1012310ABC2。1433,20,_45ARABRAB设是矩阵，则3如，其中，则NNNBABA21221210,JIBNJI,21,RA。4设为3阶方阵，且满足，则。A2AERA5已知矩阵的秩是1，则A。1A三、用初等变换求矩阵的秩并给出A的一个最高阶非零子式。3024A四、用行初等变换求矩阵的逆矩阵325121习题十一方程组解的判断姓名学号班级一、填空题1设是矩阵，则齐次线性方程组只有零解的充要条件ANM0AX是，有非零解的充要条件是。2设是矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件B是，有无穷多解的充要条件是，无解的充要条件是。3设A为N阶方阵，则非齐次方程组有唯一解的充要条件为|A|；齐次线性方程组有非零解的充要条件为|A|；只有零解的充0X要条件为|A|。二、求解线性方程组02732541XX三、取何值时，方程组有非零解。BA,0231XBA22四、设有非齐次线性方程组，为何值时，此方程组有唯一解、无解23321X或无穷多解23习题十二线性相关与线性无关姓名学号班级一、填空题1设线性无关，则它的任何一个部分组线性。R,22设线性相关，则线性。RSR,113设有维列向量组，记矩阵，则线性相关的MN,21,2NAN,21充分必要条件是（用矩阵的秩表示）。4若向量组线性相关，则T_。,1,1,321TTT二、选择题1已知可由线性表示，不能由线性表示，则下面结论正确的是（）。123,12,（A）能由线性表示，也能由线性表示；312,12,（B）能由线性表示，但不能由线性表示；（C）不能由线性表示，也不能由线性表示；312,12,（D）不能由线性表示，但能由线性表示。2设线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。123,（A）；（B）；11213,（C）；（D）。1233,1三、写出向量组对应的矩阵，并把式子写成矩1230,1,123阵乘积的形式。24四、设,。当A,B为何值时，1）TA102,1T512T413TB,不能由线性表示；2）可以由唯一地线性表示；3）可以由32,线性表示，但表示法不唯一。321,五、证明设向量线性无关，则R,21RR212121,向量组也线性无关。R,2125习题十三极大无关组与秩姓名学号班级一、填空题1能互相线性表示的两个向量组，称为向量组。2在向量组中，若存在个向量，它们满足M,21RIRI,21，则称为向量组的极大无关组。IRI,21M3向量组的极大无关组所含向量个数，称为。4任一向量组与其极大无关组是向量组。5设向量组可由向量组线性表示，则向量组的秩RA,21SB,21A向量组的秩；若向量组与向量组等价，则它们的秩。BA二、已知向量组1230,112313,证明向量组能由线性表示，但向量组不能由线性表示。BAAB26三、设有向量组，,92,1,61,3412327,214，求该向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量组用这个极大无关组线9,45性表示。四、已知，及，1231212313证明秩秩。,327习题十四线性相关性（补充）姓名学号班级一、证明题1）设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由N,2NN,21它们线性表示，证明线性无关。,212）设是一组维向量，则线性无关任一维向量N,21N,21N可用它们线性表示。283）设是矩阵，且，则。BA,NM21,RBRA21RBA4）设是一组维列向量，则线性无关行TNIIIA,21N,21N,21列式。0A29习题十五向量空间、基和维数姓名学号班级一、填空题1设是实数域上的向量空间，是中一组向量，如果满足VM,21VM,21；。则称是的一组基，基中所含向量的个数称为,。2设是向量空间的一组基，对于任意的，可以用唯一地M,21VM,21线性表示为，称有序数组为在基下MKK21,21MK的。3设与是向量空间中的两组基，若它们满足M,21,21（其中），称阶矩阵为MAMIJAA。4设与是向量空间的两组基，由前一组基到后一组基的过渡矩阵M,21,21V为，且在旧基与新基下的坐标分别为和AVTMXX,21则。TMYY,21X二、检验下列集合对于向量加法与数乘运算是否是实数域上的向量空间R（1）；（2）。212133,|XX2212133,0|VXX30三、试证明向量，构成的一组基，并求出0,12,22,33R在基下的坐标。2,953四、在中取两组基，；，3R5,312,3620,131,731,。求由基到基的过渡矩阵和坐标变换公式。1062,231231习题十六方程组解的结构姓名学号班级一、选择题1设是所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是（）。0AXB（A）若仅有零解，则有唯一解；AXB（B）若有无穷多组解，则只有零解；0（C）若有无穷多组解，则有非零解；（D）若有非零解，则有无穷多组解。X2若是某非齐次线性方程组的两解向量，则（）12,（A）是它的解向量（B）是它的解向量12（C）是其对应齐次方程组的解向量（D）是其对应齐次方程组的解向量123若是齐次方程组的基础解系，则下列答案中也是基础解系的为（）3,0AX（A）（B）的任意三个线性组合1231,123,（C）（D）12,1二、求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出相应的通解。024321XX三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是其三个解向量，且321,32，求该方程组的通解。T5,412T6,5432四、求解非齐次线性方程组。831102X五、设是非齐次线性方程组的一个解，是其对应的齐次线性方程组的一BAXRN,21个基础解系，证明1）线性无关；2）线性无关。12,NRRN21,33习题十七内积、特征值与特征向量姓名学号班级一、选择题1以下说法正确的是（）A正交向量组必定线性无关；B线性无关向量组必定正交；C正交向量组不含零向量；D线性无关向量组不含零向量。2正交矩阵的行列式为（）A；B；C；D或。1013设A为正交矩阵，则下列矩阵中，不是正交矩阵（其中K是不为1的正整数）的是（）A；B；C；D。1TKAA二、填空题1阶方阵的不同特征值所对应的特征向量；若是阶方阵NN,21的个特征值，则，。ANI1NI12已知三阶矩阵的三个特征值分别为，则，。A3,2A123设为阶方阵，有非零解，则必有一特征值为。N0X4若矩阵与相似，则与的特征值；阶矩阵与对角阵相似的充要BNA条件是。5设是矩阵的一个特征值，是的对应于的一个特征向量，是矩阵的一个多AXAF项式矩阵，则的特征值是，其相应的一个特征向量是。F6已知是的逆矩阵的特征向量，则。1,TK211K三、设是中一组标准正交基，证明，321,R23311，也是中一组标准正交基。22312R34四、用SCHMIDT正交化方法，将下列的基，化为标准正3R1,1,021,03交基，并求向量在此标准正交基下的坐标。0,1五、求矩阵的特征值和特征向量。123六、如果N阶矩阵满足，证明矩阵的特征根只能是0或1。A2A35习题十八相似矩阵与对角化姓名学号班级一、选择题1如果矩阵与相似（），则（）ABA存在可逆矩阵，使得；B存在正交矩阵，使；P1PU1ABC存在可逆矩阵，使；D存在可逆矩阵，使。,PQ2设N阶矩阵有N个线性无关的特征向量，则下面说法正确的是（）A存在正交矩阵，使为对角矩阵；1AB不一定存在正交矩阵，使为对角矩阵；PC不存在正交矩阵，使为对角矩阵；D只有当矩阵A为实矩阵时，存在正交矩阵，使为对角矩阵。P1A二、判断矩阵是否与对角阵相似。17530236三、设3阶方阵的特征值为，对应的特征向量依次为，A1021321，求。1223四、设矩阵与矩阵相似，其中，。求和的值。AB1320XAYB02XY37习题十九实对称矩阵的性质姓名学号班级一、填空题1实对称矩阵的特征值一定是，其不同的特征值所对应的特征向量。2已知，是三阶实对称阵的三个不同特征值所TA1,TB0,12T2,13对应的特征向量，则，。3设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量A,32121，则属于特征值的所有特征向量为。132二、设为三阶实对称矩阵，是其特征值，已知对应的特征向量为A2,832181，对应的一个特征向量为，试求参数及TK,132T0,1K的另一个与正交的特征向量和矩阵。32A38三、对实对称矩阵，求正交矩阵和对角阵，使得。21APAP1四、设阶实对称矩阵的特征值，证明存在特征值非负的实对称矩阵，NA,210NIIB使得。2B习题二十二次型及其标准形39姓名学号班级一、填空题1矩阵对应的二次型是，二次型3142A所对应的矩阵是。,321XF312123246XX2二次型的秩为2，则。21321,TFT3阶矩阵与正交矩阵合同，则其秩。NARA4已知二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则的取值范围是K201K。5二次型的秩为，正惯性指数为2321321,XXF，负惯性指数为。6设是正定矩阵，则满足条件。14CBAACBA,7设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当时，为正定矩阵。NN,21TATE8实对称矩阵正定的充要条件是其特征值全部。二、把变量代换写成矩阵形式并求由变量到变量的变量12323XY123,X123,Y代换。三、已知变量代换和，求由变量到变量的变量代换。122XY212Z12,Z12,X40四、用正交变换将二次型化为标准形。3231212321321845,XXXXF习题二十一正定二次型与正定矩阵41姓名学号班级一、已知二次型的秩为2，求系数及323121232132165,XXCXXFC此二次型所对应矩阵的特征值。二、已知二次型，通过正交变换化为标准形0232,321321AXXXF，求参数及所用正交变换矩阵。215YYFA三、判断二次型的正定性32312123213219,XXXXF42四、设是阶正定矩阵，证明。AN1EA五、设是阶实对称矩阵，试分别确定实数的取值范围，使得是（1）正定矩阵；ANTTEA（2）负定矩阵；（3）不定矩阵；（4）可逆矩阵。试卷一一、选择题（每小题3分，共15分）431设是阶方阵，且满足，则下列结论正确的是ANEA2（）若，则不可逆；（）可逆；EBA（）若，则可逆；（）可逆。CD2设向量组线性无关，线性相关，则321,432,（）能被线性表示；（）不能被线性表示；A432,（）能被线性表示；（）不能被线性表示。C1432,413为阶矩阵，则B,A2BTA2（）；（）；（）；（）。A6C3D164齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是0X（）的任意两个列向量线性相关；（）中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（）的任意两个列向量线性无关；（）中任一列向量都是其余列向CA量的线性组合。5设为矩阵，且，则线性方程组ANM0BNARBX（）有唯一解；（）有无穷多解；（）无解；（）可能无解。BCD二、填空题（每小题3分，共15分）1已知垂直，且，则。与4,322设是非齐次线性方程组的解，则是321,BAX13T的解的充分必要条件为，是齐次线性方程组的解的BAXT0AX充分必要条件为。T3设矩阵相似于对角矩阵，则，。1BA201AB4设为阶方阵，且，则的特征值可能取值为。ANOEA562A5设为正整数，则。K031K三、计算题（共58分）1（6分）求通过点且在轴上截距相等的平面方程。4,75AZYX,2（6分）求过点且与直线和3,105314223142ZYX44都垂直的直线方程。3（8分）已知，且，求。10A2013CECBEAT1B4（8分）计算阶行列式。NXADX5（8分）设向量组，1,023,011,43,21，试求这个向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无2,104关组线性表示。6（10分）已知线性方程组，问取何值时方程组有无穷多解，1452312XAXA并求其通解。7（12分）已知三元二次型经正交变换化为标准形，AFTQY23215YY且已知对应特征值有一个特征向量，试求正交变换。A51X四、证明题（共12分）1（6分）设是一组维向量，则线性无关任一维向量N,21N,21N可用它们线性表示。2（6分）设为维列向量，且，矩阵。证明行列式。TTEA0A试卷二一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1已知垂直，且，则_。与4,2设是三阶非零矩阵，的每一列向量都是方程组的解,则BB1230XT_。R453设3阶方阵的三个特征值为1，2，则_。A|EA4设矩阵相似于矩阵，则_，_。1320XYXY5二次型的秩为_。2132232,XXF二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1设A为矩阵，把A按行分块为，其中是A3|2321A1,23J的第J行，则行列式值为。123AA6；B6；C54；D542设向量组的秩为,的秩为,S,121RT,22R的秩为,则下列不正确的是（）。TS,3213A若1可由2线性表示，则；B若2可由1线性表示，则；32R31RC若，则；D若，则。31R12R32R21R3设是三阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再将的第2列加到第3列AB得，则满足的可逆矩阵为（）。CCPPA；B；CD101010104设矩阵的行向量线性无关，则下列错误的是（）45A只有零解；B必有无穷多解；0XT0AXTC有唯一解；D总有无穷多解。B,B,5阶矩阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（）。NNA充分必要条件；B充分而非必要条件；46C必要而非充分条件；D既非充分也非必要条件。三、计算题（共58分）1（6分）求过点且垂直于平面的直线方程。3,10M0923ZYX2（6分）求垂直平面，并通过从点的垂线的平面方Z11,X到直线程。3（8分）设阶矩阵和满足，已知，求矩阵。NABAB206A4（8分）计算行列式。2431613505（10分）已知T1,，21T，31T，；问为何值时T20，（1）可由线性表示，且表示法唯一；（2）不可由线性表示；,13,132（3）可由线性表示，且表示法不唯一，并写出一般表示式。6（10分）设求该12,4,1,43,2,4,0,向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。7（10分）已知3阶实对称矩阵的特征值为，且属于的A813281特征向量为,属于的特征向量。（1）求K的值；TK11232T0,（2）求属于特征值的另一