高考数学第8章立体几何初步第7节空间角与距离模拟创新题理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步 第7节 空间角与距离模拟创新题 理一、选择题1.(2016泰安模拟)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A.30B.60 C.120D.150解析设l与所成角为，cosm，n，又直线与平面所成角满足090，sin .30.答案A2.(2015广州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A.B. C.D.解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.(2016四川成都模拟)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面BDM的距离是()A.aB.a C.aD.a解析以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a，0，a)，A(a，0，0)，M，B(a，a，0)，D(0，0，0)，设n(x，y，z)为平面BMD的法向量.则n0，且n0，而，所以所以令z2，则n(1，1，2)，(a，0，a)，则A1到平面BDM的距离是da.答案A4.(2014江西南昌质检)二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A.B. C.2D.解析如图，二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|222232cos 604，|2.答案C二、填空题5.(2016江西抚州模拟)已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则(0，0，2)，由题意可求得平面GEF的一个法向量为n(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离为d.答案创新导向题几何体中求线段长及二面角问题6.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ACAB，ADDC，DAC60，PAAC2，AB1，点E在棱PC上，且DEPB.(1)求CE的长；(2)求二面角APBC的正弦值.解(1)如图，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D.过E作EFAC于F，则EFPA，设EFh，则E(0，2h，h).，又(1，0，2)，DEPB，2h0，h，CEh.(2)由(1)得(0，2，2)，(1，0，2).设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得n(2，1，1).易知(0，2，0)是平面PAB的一个法向量.cosn，.则二面角APBC的正弦值为sinn，.几何体中求点到平面的距离及二面角问题7.如图，三棱锥PABC中，PAPBPC，CACB，ACBC.(1)求点B到平面PAC的距离；(2)求二面角CPAB的余弦值.解取AB中点O，连接OP，CO，CACB，ACB90，COAB，且AB2，CO1.PAPB，POAB，且PO.PO2OC23PC2，POC90，即POOC.OA，OC，OP两两垂直.如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，).(1)设平面PAC的一个法向量为n(x，y，1)，则(1，1，0)，(1，0，)，xy，n(，1).(2，0，0)，点B到平面PAC的距离为d.(2)(0，1，0)是平面PAB的一个法向量，cosn，.综合图形可见，二面角CPAB的大小为锐角，二面角CPAB的余弦值为.专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B. C.D.解析法一取A1C1的中点E，连接AE、B1E.由题易知B1E平面ACC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角.令正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sinB1AE，故选A.法二如上图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A(，0，1)，B1(0，0)，设AB1与面ACC1A1所成角为，则sin |cos，|.答案A二、填空题9.(2016安徽安庆模拟)已知三棱锥PABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两两垂直，若PAPBPC2，则球心O到平面ABC的距离为_.解析由条件知三棱锥PABC可看作正方体的一个角，它的外接球就是该正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，又体对角线长为2，故球的半径R.设点P到平面ABC的距离为h，因为VPABCVAPBC，即hSABCPASPBC，可得h，所以球心O到平面ABC的距离为Rh.答案三、解答题10.(2016南京模拟)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点.(1)求证：MNAB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离.解以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图).(1)证明由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0).所以(1，0，1)，(0，4，0)，0，MNAB.(2)设平面SND的一个法向量为m(x，y，z)，则：m0，且m0.(0，2，2)，(1，2，0)，即令z1，得：x2，y1，m(2，1，1).又平面AND的法向量为n(0，0，1)，cosm，n.由题图易知二面角SNDA为锐角，故其余弦值为.(3)(0，2，0)，点A到平面SND的距离d.11.(2015广东六校联盟模拟)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边ABt(0t2)，连接A1B，A1C，A1D.(1)当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，求二面角BA1CD的值；(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.解法一(1)根据题意，长方体体积为Vt(2t)1t(2t)1，当且仅当t2t，即t1时体积V有最大值为1，所以当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，作BMA1C于M，连接DM，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以A1BC与A1DC全等，故DMA1C，所以BMD即为所求二面角的平面角.因为BC平面AA1B1B，所以A1BC为直角三角形，又A1B，A1C，所以BM，同理可得，DM，在BMD中，根据余弦定理有：cosBMD，因为BMD(0，180)，所以BMD120，即此时二面角BA1CD的值是120.(2)若线段A1C上存在一点P，使得A1C平面BPD，则A1CBD又A1A平面ABCD，所以A1ABD，所以BD平面A1AC.所以BDAC，底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在.由(1)知，所求点P即为BMA1C的垂足M，此时，A1P.法二根据题意可知，AA1，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：(1)长方体体积为Vt(2t)1t(2t)1，当且仅当t2t，即t1时体积V有最大值为1.所以当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，0)，设平面A1BC的法向量m(x，y，z)，则取xz1，得：m(1，0，1)，同理可得平面A1CD的法向量n(0，1，1)，所以，cosm，n，又二面角BA1CD为钝角，故值是120.(也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量)(2)根据题意有B(t，0，0)，C(t，2t，0)，D(0，2t，0)，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨(0)，可得P(t，(2t)，1)(tt，(2t)，1)，(t，2t，0)，即：解得：t1，.即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1PPC21处.创新导向题利用二面角求解直线与平面所成角问题12.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC2，BD2，E是PB上任意一点.(1)求证：ACDE；(2)已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值.(1)证明PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC.四边形ABCD是菱形，BDAC，又BDPDD，AC平面PBD，DE平面PBD.ACDE.(2)解连接OE，E为PB的中点，OEPD，则OE平面ABCD.以O为原点，OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0，0)，设PDt(t0).则(1，0)，(1，t).E，P.由(1)知平面PBD的一个法向量为n1(1，0，0).设平面PAB的法向量为n2(x，y，z).则即可取n2.二面角APBD的余弦值为，|cosn1，n2|，即.t2，t2(舍去)，P(0，2).设EC与平面PAB所成的角为，(1，0，)，n2(，1，1).sin |cos，n2|.即EC与平面PAB所成角的正弦值为.利用异面直线所成角求二面角问题13.如图，三棱锥PABC中，PB平面ABC，BCA90，PBCA2，点E是PC的中点.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若异面直线AE与PB所成的角为，且tan ，求二面角CABE的大小.(1)证明PB平面ABC，AC平面ABC，PBAC.BCA90，ACBC.又PBBCB，AC平面PBC.又AC平面PAC，平面PAC平面PBC.(2)解以C为原点，CA，