13.5.3角平分线

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,创设情境、导入新课,探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,义务教育课程标准试验教科书八年级上册,华东师范大学出版社,（第一课时）,13.5.3角平分线,阅读课本96-98，边看边思考下列问题，并将你认为重要的地方划线或画圈。问题：什么叫角平分线？角平分线的作法？问题2：什么叫角平分线的性质定理？如何用几何语言描述？问题3：什么叫角平分线的判定定理？如何用几何语言描述？问题4：角平分线的性质和判定定理在几何证明中有何妙用？,提醒：文字、图形、云图都要阅读。,第1步,开始自学,探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,教师点拨,证明：OC平分AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PDOA，PEOBPDO=PEO=900OP=OP（公共边）PDOPEO（A.A.S.）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE,(3)验证猜想,教师点拨,符号语言,题设：1=2,PDOA，PEOB结论：PD=PE,(4)角平分线的性质定理：,角平分线上的点到角两边的距离相等。,教师点拨,判断题（）如图，AD平分BAC（已知）,BD=DC(),角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,如图，在RtABC中，,角平分线的性质，为我们证明两条线段相等又提供了新的方法与途径。,A,B,C,BD是角平分线，,DEAB，垂足为E，,E,DE与DC相等吗？,答：,DE=DC。,BD是ABC的平分线,且DEBA，,DE=DC。,为什么？,DCBC，,已知：如图,PDOA，PEOB，点D、E为垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上,证明：PDOA，PEOB，,在RtPDO与RtPEO中,PDO=PEO=900,PD=PE（已知）,OP=OP（公共边）,RtPDORtPDO(H.L.),1=2即点P在AOB的平分线上,角平分线上的点到角两边的距离相等。,逆命题,到角两边的距离相等的点在角的平分线上.,几何语言PDOA，PEOB且PD=PEOC平分AOB,A,C,B,E,D,P,M,H,K,例题：如图，在ABC的顶点B的外角的平分线BD与顶点C的外角的平分线CE相交于点P求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等,证明：过点P作PMAB、PKBC、PHAC，垂足分别为M、K、H。BD平分CBMPMAB、PKBCPKPM同理PKPHPKPMPH即点P到三边AB、BC、AC的距离相等,若求证点P在BAC的平分线上，又该如何证明呢？,1如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等,提示：作AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点,练习1,练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,P,1、如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P也在BAC的平分线上.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PDAB，PEBC,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,点P在BAC的平分线上.,试一试,通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？,三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。,想一想,利用结论，解决问题,练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,想一想,在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?,P,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处,分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,P1,P2,P3,P4,l1,l2,l3,3、如图，O是三条角平分线的交点，ODBC于