相似三角形的综合应用(培优提高)

.相似三角形的应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）【知识回顾】一、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等（2）相似三角形的周长比等于相似比（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比二、相似三角形的应用:1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度如求河的宽度、求建筑物的高度等【典型例题】例1：如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ABCQMDNPE【同步练习】如图，ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m 图1图2图3图4（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米（2）求出乙树的高度（画出示意图）（3）请选择丙树的高度为（ ）A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 D、7.25米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度 例3：如图，已知AD是ABC的中线，M是边AC上的一动点，BM交AD于N点。 如图，若，则 。如图，若，则 。如图，若，则 。 猜想，与存在怎样的关系？并证明你的结论。 当 时，恰有【同步练习】如图，DE是ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则DMN四边形ANME = 例4：如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为（1）用表示的面积；（2）求出时与的函数关系式；（3）求出时与的函数关系式；（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？EDBCA BCA【同步练习】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F. （1）求证：APEADQ； （2）设AP的长为x，试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，SPEF取得最大值?最大值为多少? 例5：等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120，P为BC的中点，小慧拿着含30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F 探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论） 探究2：连结EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由； 设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S【同步练习】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长例6：如图，已知抛物线yx 2bxc与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_，b_，c_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由ACBQPOHxy巩固练习1. 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ） A1B2 C3 D42. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，EB，CE分别交AD于点G，H设CDH，GHE的面积分别为S1，S2，则（ ） A B C D 3. 如图，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式（ ） Ab=a+c Bb=ac Cb2=a2+c2 Db=2a=2c 4. 某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在RtABC中，C=90，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ） A24 B25 C26 D27 5. 如图，点在射线上，点在射线上，且，若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 6. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（