猜想、证明与拓广

综合与实践猜想、证明与拓广青岛第四十二中学温少林,提出问题，猜想探究,问题1、当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？,解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为2a,此时面积应为4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a，此时周长应为4a，不是4a的两倍，,提出问题，猜想探究,由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.所以周长比和面积比不可能同时为2.结论：不存在这样的正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍。,提出问题，猜想探究,问题2、当任意给定一个矩形时，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的2倍？,提出问题，猜想探究,？,如果已知矩形的长和宽分别为2和1,3和1，4和1,5和1呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.活动说明：1、以四人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说明。3、整理写出解答过程。,探究活动：,拓展思维，证明猜想。,解：设定矩形的长为n，宽为m，则周长是2(n+m),面积是mn，有另一个矩形的周长与面积是原矩形的2倍，则周长应为4(n+m),面积为2mn.得方程x2(n+m)-x=2mn解得：,当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？,结论,任意给定一个矩形，必然存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍。,问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？,问题拓广，自主探究。,？,小明的结论,小明认为这个结论是正确的，理由是：既然任意给定一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么，原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半。你同意小明的观点吗？,如果已知矩形的长和宽分别为2和1,3和1，4和1,5和1呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.活动说明：1、以四人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说明。3、整理写出解答过程。,探究活动：,当矩形满足什么条件，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半？,问题拓广，自主探究,分析：设所求矩形的长为x，列方程为,问题拓广，自主探究,总结反思，方法提炼,（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.,（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.,总结反思，方法提炼,（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的思维.