第八章 空间解析几何与向量代数

.,第八章空间解析几何与向量代数,目录上页下页返回结束,向量代数,平面与直线,空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法,向量,向量运算：加减法，数量积，向量积,向量,空间直角坐标系,平面法向量,直线方向向量,距离，夹角,.,目录上页下页返回结束,1向量及其线性运算2数量积，向量积3平面及其方程4空间直线及其方程5曲面及其方程6空间曲线及其方程,.,目录上页下页返回结束,第一次课,四、利用坐标作向量的线性运算,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,1向量及其线性运算,.,2.向量的大小(模):,1.向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,4.单位向量:,3.零向量:,一、向量的概念,方向任意.,记为,5.平行向量:,方向相同,或相反.,(零向量与任何向量平行),6.相等向量:,大小相等,方向相同.,目录上页下页返回结束,.,二、向量的线性运算,1.向量的加减法,三角形法则:,(1)加法：平行四边形法则：,(3)加法满足交换律，结合律见P2.,(2)三角形法则可推广到多个向量相加.,(4)减法：,(5)三角不等式,目录上页下页返回结束,.,2.向量与数的乘法：,(1)定义：向量与数的乘法记为,(2)向量与数的乘法满足结合律,分配律.见P4.,(4)定理1.1：设,则,目录上页下页返回结束,(5)与同向的单位向量为：,.,解:如图M为四边形ABCD对角线的交点,则,由已知,所以,所以ABCD为平行四边形.,目录上页下页返回结束,.,三、空间直角坐标系,坐标原点,坐标轴,(横轴),(纵轴),(竖轴),坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系(右手系),目录上页下页返回结束,.,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,原点O(0,0,0);,(称为点M的坐标),目录上页下页返回结束,.,坐标轴:,坐标面:,目录上页下页返回结束,.,2.向量的坐标表示,(1)设点M(x,y,z),则,分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量,目录上页下页返回结束,.,四、利用坐标作向量的线性运算,1.设,为实数，则,目录上页下页返回结束,2.已知两点,则,.,3.平行向量对应坐标成比例:,【例2】P8例2,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,【例3】已知两点,及实数-1,在直线AB上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,由已知,.,由,得定比分点公式:,当=1时，点M为AB的中点,于是,得中点公式:,目录上页下页返回结束,.,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模:设,则由勾股定理得有,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,2.两点间的距离公式,【例】P10例4,5,6,目录上页下页返回结束,.,3.方向角与方向余弦,(1)夹角:,(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角,称为方向角,的方向余弦,(3)方向余弦：,目录上页下页返回结束,.,【例4】P11例8,方法2:设,则由,目录上页下页返回结束,.,4.向量在轴上的投影,(1)定义:过M作平面,交轴于,设轴上的单位向量为,则,称为,在上的投影,记为,注：投影是一个数，,当与同向时为正,反向时为负.,目录上页下页返回结束,.,(2)向量在轴上的投影,则,(3)投影的性质,目录上页下页返回结束,.,【作业】,P12Ex8-14,5,11,12,14,17,19,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,第二次课,2数量积,向量积,一、数量积,的数量积等于两向量的长度与它们夹,1.De2.1:,角的余弦的乘积,记为,即:,2.由投影性质:,.,目录上页下页返回结束,3.性质,1,1,1,0,0,0,0,0,0,5.运算规律,见P14-15,【例5】P15例1,.,目录上页下页返回结束,6.数量积的坐标表示法,设,特别：,则,.,目录上页下页返回结束,5.向量夹角余弦的坐标表达式,【例6】P16例2,.,目录上页下页返回结束,【例7】试在所确定的平面内找一个与垂直的,解：由于,故与确定一个平面,设,单位向量,其中,取=1，则=3,故所求的单位向量,.,目录上页下页返回结束,二、向量积,的向量积是满足下列条件的一个向量，,1.De2.2:,2.性质:,记为,与都垂直；,构成右手系,有一个为零向量,.,目录上页下页返回结束,4.运算规律,.,目录上页下页返回结束,5.向量积的坐标表示法,设,则,.,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,解：可取,【例8】求与都垂直的单位向量,其中,故所求的单位向量,【例9】P19例5,.,【作业】,P22Ex8-21,3,6,7,8,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,第三次课,3平面及其方程,一、点法式平面方程,给出平面上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于,1.引例1:,平面的一个向量,解：设P(x,y,z)为上任意一点，则,由题意有,.,目录上页下页返回结束,已知点(x0,y0,z0),(A,B,C),则,2.点法式平面方程,【例】P38例1,【例10】P38例2,点法式方程：,.,目录上页下页返回结束,平面一般方程:,二.平面的一般方程,将点法式方程进行化简并合并同类项,得,说明:,D=0,过原点；,A=0,平行于x轴；,B=0,平行于y轴；,C=0,平行于z轴；,对于,法向量z轴,z轴上的所有向量.,【例11】P40例3,.,目录上页下页返回结束,三.截距式平面方程,设与x,y,z轴的截距分别为a,b,c,即:,1.引例2:,P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),解:设:,将P,Q,R代入得,求平面的方程.,截距式平面方程:,.,目录上页下页返回结束,【例11】求过点,解：,P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量,平行的平面方程.,又过点P1(1,0,1)，所以：,即：,.,目录上页下页返回结束,三.两平面的夹角：,(两平面法向量的夹角)锐角,1.De2.3:,.,目录上页下页返回结束,2.性质,【例】P41例5,【例12】P41例6,.,目录上页下页返回结束,四.点到平面的距离,求P0到的距离P0N.,引例3:,任取,则由数量积的性质,.,目录上页下页返回结束,.,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,目录上页下页返回结束,2.点到平面的距离,.,3.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,目录上页下页返回结束,.,【作业】,P42Ex8-51,2,3,4(单数),5，7，9,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,第四次课,4空间直线及其方程,一、直线的一般方程,(两平面的交线),二、直线的对称式方程与参数方程,引例:,求过点M0(x0,y0,z0),且与向量,在L上任取一点M(x,y,z),平行的直线方程L,.,目录上页下页返回结束,1.对称式方程:,由,则对应元素成比例,即：,(1)当分母有一个为0时,分子也为0;,对称式方程,(2)当分母有两个为0时,另一个分子任意,例如：,例如：,.,目录上页下页返回结束,2.参数方程:,令,参数方程,(1)方向,则,3.说明:,称为方向向量.,(2)m,n,p称为直线L的一组方向数.,L方向余弦,(3)的方向余弦,称为直线,.,目录上页下页返回结束,直线方程L为,【例13】求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面:x-y+3z+1=0,的直线方程L.,解:设的法向量,由,从而可取,.,目录上页下页返回结束,【例14】将直线L:,化为对称式方程.,解:设,由1,1的交线均垂直于,故可取直线L的,.,目录上页下页返回结束,不妨取,在L上任取一点,不妨取z=0,则,L上一点M0(1,2,0),L的对称式方程为,【例14】将直线L:,化为对称式方程.,.,目录上页下页返回结束,【例15】求过点P0(-1,4,3)且与L1:,都垂直的直线方程L.,L2:,解:,L1的方向向量,L2的方向向量,L的方向向量,L的直线方程,.,目录上页下页返回结束,三、两直线的夹角,1.计算公式:,设,【例16】P47例4,【例17】P47例5,(两直线方向向量的夹角),【例】P45例2,.,目录上页下页返回结束,2.性质:,.,目录上页下页返回结束,四、直线与平面的夹角,直线与它在平面上投影直线的夹角,L的方向向量:,的法向量:,设,.,目录上页下页返回结束,取,的距离.,过P0作L,交L于N,解:,【例18】求过点P0(1,1,1)到直线,令,则,代入到中得t=-1,N(0,0,2),P0到L的距离,将t=-1代入得,【例19】P47例6,.,目录上页下页返回结束,五、平面束方程,设,作,则称为过L的平面束方程，,该方程为过L但除2,的所有平面方程.,【例20】P48例7,.,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,目录上页下页返回结束,.,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,目录上页下页返回结束,.,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线,目录上页下页返回结束,.,【作业】,P49Ex8-61,2,3,5，7,8，11，13，15,目录上页下页返回结束,课堂练习,.,目录上页下页返回结束,第五次课,5曲面及其方程,一、曲面方程的定义,二、一些特殊的曲面方程,三、二次曲面,.,目录上页下页返回结束,一、曲面方程的定义,设动点P(x,y,z)组成的曲面S与三元方程,(2)不在S上的任意点都不满足(*)，,F(x,y,z)=0(*),有如下关系:,(1)S上的任意一点P都满足方程(*);,则称(*)为S的方程.,.,目录上页下页返回结束,二、一些特殊的曲面方程,1.球面:与定点M0(x0,y0,z0)保持距离为R的点,的轨迹称为球.,设轨迹上的点P(x,y,z),则,.,2.旋转曲面,定义:一条平面曲线绕其,平面上一条定直线旋转一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转轴.,例如:,目录上页下页返回结束,.,故旋转曲面方程为,当绕z轴旋转时,若点,则有,则有,该点转到,(1)yoz面内曲线C:f(y,z)=0(y0)绕z轴旋转,一周后所得的曲面方程.,目录上页下页返回结束,.,(3)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕x轴旋转一周后,所得的曲面方程:,(4)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕y轴旋转一周后,所得的曲面方程:,(2)yoz面内曲线C:f(y,z)=0绕y轴旋转一周后,所得的曲面方程:,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,3.柱面,平行于定直线,并沿着曲线C移动的直线,L形成的轨迹叫柱面.,平行于z轴.,圆柱面：,抛物柱面：,平行于x轴.,平行于y轴.,.,三、二次曲面,三元二次方程,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为0),目录上页下页返回结束,.,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,目录上页下页返回结束,.,2.圆锥面,椭圆锥面,y=z绕着z轴旋转一周而得的曲面,(a,b为正数),在平面z=t上的截痕为圆.,在平面z=t上的截痕为椭圆.,直纹面,目录上页下页返回结束,.,(1).单叶双曲面,(a,b,c为正数),直纹面,3.双曲面,目录上页下页返回结束,.,(2).双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,1单叶双曲面,-1双叶双曲面,(a,b,c为正数),在平面y=y1上的截痕为,在平面x=x1上的截痕为,在平面z=z1(|z1|c)上的截痕为,目录上页下页返回结束,.,4.抛物面,(1)椭圆抛物面,(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当a=b时为绕z轴的旋转抛物面.,目录上页下页返回结束,.,【作业】,P31Ex8-31,2,5，6,8(1,3),目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,5空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,.,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,目录上页下页返回结束,.,C:表示圆柱面与平面的交线,【例21】画出下列曲线,目录上页下页返回结束,.,表示上半球面与圆柱面的交线C.,目录上页下页返回结束,.,目录上页下页返回结束,P37题1(1),P37题1(2),.,目录上页下页返回结束,P37题1(3),.,目录上页下页返回结束,P37题2(1),.,思考:,当|b|3时,交线情况如何?,目录上页下页返回结束,.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:,称为空间曲线的参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,当=2时上升高度,称为螺距.,目录上页下页返回结束,.,【例22】将曲线化为参数方程,解:根据第一方程引入参数,代入到第二个方程得,所以参数方程为,目录上页下页返回结束,.,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去z得投影柱面,则C在x